حساب الضرب الداخلي والزاوية بين متجهين

اختبر فهمك

جاري تحميل التمرين...

أسئلة متوقعة

تمارين محلولة - الضرب الداخلي للمتجهات

ثلاث مسائل محلولة بالتفصيل لفهم الضرب الداخلي وتطبيقاته

1

حساب الضرب الداخلي لمتجهين

السؤال:

احسب الضرب الداخلي للمتجهين التاليين:

\vec{A} = \langle 5, 2 \rangle
\vec{B} = \langle 3, -4 \rangle
المطلوب: إيجاد
\vec{A} \cdot \vec{B}

رسم المتجهات على المستوى الإحداثي

x y A(5, 2) B(3, -4) O

الحل:

الخطوة 1: تحديد المعطيات

• المتجه الأول:
\vec{A} = \langle 5, 2 \rangle
• المتجه الثاني:
\vec{B} = \langle 3, -4 \rangle
• المطلوب:
\vec{A} \cdot \vec{B} = ?

الخطوة 2: استخدام قانون الضرب الداخلي

للمتجهين
\vec{A} = \langle a_1, a_2 \rangle
و
\vec{B} = \langle b_1, b_2 \rangle
\vec{A} \cdot \vec{B} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2

الخطوة 3: التعويض في القانون

\vec{A} \cdot \vec{B} = (5)(3) + (2)(-4)
\vec{A} \cdot \vec{B} = 15 + (-8)
\vec{A} \cdot \vec{B} = 7

الإجابة النهائية:

\vec{A} \cdot \vec{B} = 7

ملاحظة مهمة:

نتيجة الضرب الداخلي هي عدد وليست متجهاً، وقد تكون موجبة أو سالبة أو صفر.

2

حساب مقدار المتجه (الطول)

السؤال:

احسب مقدار (طول) كل من المتجهات التالية:

\vec{A} = \langle 6, 8 \rangle
\vec{B} = \langle 5, 12 \rangle
\vec{C} = \langle -3, 4 \rangle
المطلوب: إيجاد
|\vec{A}|
،
|\vec{B}|
، و
|\vec{C}|

رسم المتجهات الثلاثة

x y A(6, 8) B(5, 12) C(-3, 4) O

الحل:

الخطوة 1: قانون حساب مقدار المتجه

لأي متجه
\vec{V} = \langle v_1, v_2 \rangle
، مقدار المتجه هو:
|\vec{V}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}
أو باستخدام الضرب الداخلي:
|\vec{V}| = \sqrt{\vec{V} \cdot \vec{V}}

الخطوة 2: حساب مقدار المتجه A

|\vec{A}| = \sqrt{6^2 + 8^2}
|\vec{A}| = \sqrt{36 + 64}
|\vec{A}| = \sqrt{100}
|\vec{A}| = 10

الخطوة 3: حساب مقدار المتجه B

|\vec{B}| = \sqrt{5^2 + 12^2}
|\vec{B}| = \sqrt{25 + 144}
|\vec{B}| = \sqrt{169}
|\vec{B}| = 13

الخطوة 4: حساب مقدار المتجه C

|\vec{C}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2}
|\vec{C}| = \sqrt{9 + 16}
|\vec{C}| = \sqrt{25}
|\vec{C}| = 5

الإجابة النهائية:

|\vec{A}| = 10
،
|\vec{B}| = 13
،
|\vec{C}| = 5

ملاحظة:

المتجهات الثلاثة تشكل مثلثات قائمة فيثاغورية مشهورة: (6، 8، 10) و (5، 12، 13) و (3، 4، 5).

3

إيجاد الزاوية بين متجهين

السؤال:

أوجد الزاوية بين المتجهين التاليين:

\vec{A} = \langle 4, 3 \rangle
\vec{B} = \langle 1, 2 \rangle
المطلوب: إيجاد الزاوية
\theta
بين المتجهين

رسم المتجهات والزاوية بينهما

x y A(4, 3) B(1, 2) θ O

الحل:

الخطوة 1: قانون الزاوية بين متجهين

للعثور على الزاوية
\theta
بين متجهين، نستخدم:
\cos(\theta) = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| \cdot |\vec{B}|}

الخطوة 2: حساب الضرب الداخلي

\vec{A} \cdot \vec{B} = (4)(1) + (3)(2)
\vec{A} \cdot \vec{B} = 4 + 6 = 10

الخطوة 3: حساب مقدار المتجهين

|\vec{A}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
|\vec{B}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}

الخطوة 4: التعويض في قانون الزاوية

\cos(\theta) = \frac{10}{5 \cdot \sqrt{5}}
\cos(\theta) = \frac{10}{5\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}
\cos(\theta) = \frac{2\sqrt{5}}{5} \approx 0.894

الخطوة 5: حساب الزاوية

\theta = \cos^{-1}(0.894)
\theta \approx 26.57°

الإجابة النهائية:

\theta \approx 26.57°
أو
\theta \approx 0.464
راديان

ملاحظات مهمة:

• إذا كان

\vec{A} \cdot \vec{B} > 0
، الزاوية حادة (أقل من 90°)
• إذا كان
\vec{A} \cdot \vec{B} = 0
، الزاوية قائمة (المتجهان متعامدان)
• إذا كان
\vec{A} \cdot \vec{B} < 0
، الزاوية منفرجة (أكبر من 90°)

ملخص القوانين المستخدمة

الضرب الداخلي

\vec{A} \cdot \vec{B} = a_1b_1 + a_2b_2

المسألة 1

مقدار المتجه

|\vec{V}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}

المسألة 2

الزاوية بين متجهين

\cos(\theta) = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}||\vec{B}|}

المسألة 3

نصائح مهمة للضرب الداخلي

• الضرب الداخلي ينتج عنه عدد وليس متجه
• استخدم الضرب الداخلي لحساب الزوايا بين المتجهات
• مقدار المتجه دائماً قيمة موجبة أو صفر
• إذا كان
\vec{A} \cdot \vec{B} = 0
، المتجهان متعامدان
• تحقق من الإشارات السالبة في الإحداثيات بعناية
•
|\vec{V}|^2 = \vec{V} \cdot \vec{V}
طريقة سريعة لحساب المربع

الشرح

حساب الضرب الداخلي والزاوية بين متجهين

الموضوع: العمليات الحسابية على المتجهات

المفاهيم: الضرب الداخلي (الضرب القياسي)، حساب الزاوية بين متجهين، طول المتجه

الهدف: تعلم كيفية حساب نتيجة الضرب الداخلي بين متجهين وإيجاد الزاوية بينهما

المقدمة

الضرب الداخلي عملية رياضية بين متجهين تعطي عدداً (وليس متجهاً)
في هذا الدرس سنتعلم نقطتين مهمتين عن الضرب الداخلي (الضرب القياسي):

النقطة الأولى: كيف نحسب نتيجة الضرب الداخلي لمتجهين ونحل أمثلة عليه

النقطة الثانية: كيف نستخدم الضرب الداخلي لإيجاد الزاوية بين المتجهين

ملاحظة مهمة:
• الضرب الداخلي (\cdot): النتيجة دائماً عدد (scalar)
• الضرب الاتجاهي (\times): النتيجة دائماً متجه (vector)
الضرب الداخلي بين متجهين يعطي عدداً نستخدمه لحساب الزاوية بينهما

1 كيفية حساب الضرب الداخلي

نضرب إحداثيات x مع بعض، ثم نجمع مع ضرب إحداثيات y
1
القاعدة الأساسية
لحساب الضرب الداخلي بين متجهين:

\langle x_1, y_1 \rangle \cdot \langle x_2, y_2 \rangle = (x_1 \times x_2) + (y_1 \times y_2)
الخطوات:
• الخطوة 1: نضرب إحداثي x الأول في إحداثي x الثاني
• الخطوة 2: نضع علامة الزائد (+)
• الخطوة 3: نضرب إحداثي y الأول في إحداثي y الثاني
• الخطوة 4: نجمع النتيجتين → النتيجة النهائية عدد
2
مثال (1): حساب الضرب الداخلي
المعطى: المتجه الأول \langle 1, 3 \rangle والمتجه الثاني \langle -2, -6 \rangle
المطلوب: حساب الضرب الداخلي بينهما

الحل:

الخطوة 1: نضرب إحداثيات x معاً:
1 \times (-2) = -2
الخطوة 2: نضرب إحداثيات y معاً:
3 \times (-6) = -18
الخطوة 3: نجمع النتيجتين:
-2 + (-18) = -20
النتيجة النهائية: \langle 1, 3 \rangle \cdot \langle -2, -6 \rangle = -20
3
مثال (2): حساب الضرب الداخلي
المعطى: المتجه الأول \langle 3, 4 \rangle والمتجه الثاني \langle 2, -1 \rangle
المطلوب: حساب الضرب الداخلي بينهما

الحل:

\langle 3, 4 \rangle \cdot \langle 2, -1 \rangle = (3 \times 2) + (4 \times -1)
= 6 + (-4) = 6 - 4 = 2
النتيجة النهائية: \langle 3, 4 \rangle \cdot \langle 2, -1 \rangle = 2
النتيجة: الضرب الداخلي بين متجهين يعطي دائماً عدداً (scalar) وليس متجهاً

2 إيجاد الزاوية بين متجهين

نستخدم قانون الجيب التمام (cos) مع الضرب الداخلي وطول المتجهات
1
القانون الأساسي
لإيجاد الزاوية \theta بين متجهين A و B:

\cos \theta = \frac{A \cdot B}{|A| \times |B|}
حيث:
• A \cdot B = نتيجة الضرب الداخلي بين المتجهين
• |A| = طول المتجه A
• |B| = طول المتجه B
• \theta = الزاوية بين المتجهين
2
كيفية حساب طول المتجه
بما أن المتجه في الصورة الإحداثية يبدأ من نقطة الأصل (0, 0):

|\langle x, y \rangle| = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}
مثال: لحساب طول المتجه \langle 3, 4 \rangle:
|\langle 3, 4 \rangle| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
3
مثال كامل: إيجاد الزاوية بين متجهين
المعطى: المتجه A = \langle 3, 4 \rangle والمتجه B = \langle 2, -1 \rangle
المطلوب: إيجاد الزاوية \theta بين المتجهين

الخطوة 1: حساب الضرب الداخلي
(من المثال السابق)
A \cdot B = 2
الخطوة 2: حساب طول المتجه A
|A| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
الخطوة 3: حساب طول المتجه B
|B| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \approx 2.236
الخطوة 4: تطبيق القانون
\cos \theta = \frac{A \cdot B}{|A| \times |B|}
\cos \theta = \frac{2}{5 \times \sqrt{5}}
\cos \theta = \frac{2}{5 \times 2.236} \approx \frac{2}{11.18} \approx 0.178
الخطوة 5: حساب الزاوية
نأخذ معكوس الجيب التمام (\cos^{-1})
\theta = \cos^{-1}(0.178) \approx 80°
النتيجة النهائية: الزاوية بين المتجهين \approx 80°
النتيجة: نستخدم الضرب الداخلي وأطوال المتجهات لإيجاد الزاوية بينهما

الملخص النهائي

حساب الضرب الداخلي

\langle x_1, y_1 \rangle \cdot \langle x_2, y_2 \rangle
↓
(x_1 \times x_2) + (y_1 \times y_2)
↓
النتيجة: عدد

حساب طول المتجه

|\langle x, y \rangle|
↓
\sqrt{x^2 + y^2}
↓
النتيجة: عدد موجب

حساب الزاوية

\cos \theta = \frac{A \cdot B}{|A||B|}
↓
\theta = \cos^{-1}(...)
↓
النتيجة: زاوية بالدرجات

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
الدرس السابق
0
الدرس التالي
ثالث ثانويالفصل الثاني
جاري تحميل التعليقات...