الاحتمال المشروط (Conditional Probability)

الشرح

الاحتمال المشروط (Conditional Probability)

الموضوع: الاحتمال المشروط وكيفية حسابه

المفاهيم: الاحتمال المشروط، الأحداث المرتبطة، فضاء العينة

الهدف: فهم قاعدة الاحتمال المشروط وتطبيقها على الأمثلة

المقدمة

ما هو احتمال حدوث شيء إذا علمنا أن شيئاً آخر حدث؟
الاحتمال المشروط يُستخدم عندما يكون عندنا حدثان (Event A و Event B)، ونريد معرفة احتمال حدوث أحدهما إذا علمنا أن الآخر حدث.

مثال:
• ما احتمال ظهور العدد 3 من رمية نرد؟ (احتمال عادي)
• ما احتمال ظهور العدد 3 إذا علمنا أن العدد فردي؟ (احتمال مشروط)

الفرق:
في الاحتمال المشروط، نحن نحصر النتائج المحتملة بناءً على معلومة إضافية.

ملاحظة مهمة:
• إذا كان الحدثان مرتبطين (غير مستقلين)، الاحتمال المشروط سيغير النتيجة
• قد يرفع الاحتمال أو يقلله أو لا يؤثر (إذا كانا مستقلين)
الاحتمال المشروط يحصر فضاء العينة بناءً على معلومة معروفة

1 قاعدة الاحتمال المشروط

البسط: احتمال حدوثهما معاً | المقام: احتمال الشرط
1
القاعدة
أول شيء لازم نعرف أن عندنا حدثين: حدث A وحدث B

السؤال: ما هو احتمال حدوث B إذا علمنا أن A حدث؟

P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}
حيث:
• P(B|A) = احتمال حدوث B إذا علمنا أن A حدث
• P(A \cap B) = احتمال حدوثهما معاً
• P(A) = احتمال حدوث A (الشرط الذي تحقق)
2
خطوات الحساب
إذا شفنا احتمال مشروط:

الخطوات:
• الخطوة 1: نعرف احتمال A واحتمال B
• الخطوة 2: في البسط نحط قيمة احتمال حدوثهما معاً
• الخطوة 3: في المقام نحط احتمالية حدوث الشرط الذي حصل
• الخطوة 4: نقسم البسط على المقام
قاعدة الاحتمال المشروط: البسط (معاً) ÷ المقام (الشرط)

2 مثال: الاحتمال غير المشروط

أولاً: نحسب الاحتمالات العادية (غير المشروطة)
1
المثال: رمي مكعب
لو عندنا مكعب (نرد) ورميناه:

• المكعب له ستة أوجه
• كل وجه له رقم من 1 إلى 6
• فضاء العينة: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

السؤال 1: ما احتمالية ظهور الرقم 3؟

P(\text{3}) = \frac{1}{6}
لأن هناك نتيجة واحدة مرغوبة (3) من أصل 6 نتائج محتملة
2
الاحتمال الثاني
السؤال 2: ما احتمالية ظهور عدد فردي؟

الأعداد الفردية في المكعب: {1, 3, 5}
عدد الأعداد الفردية = 3

P(\text{عدد فردي}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
ملخص:
• الحدث A: ظهور عدد فردي → P(A) = 1/2
• الحدث B: ظهور العدد 3 → P(B) = 1/6
الاحتمالات غير المشروطة: P(3) = 1/6، P(فردي) = 1/2

3 تطبيق الاحتمال المشروط

ما احتمال ظهور 3 إذا علمنا أن العدد فردي؟
1
صياغة السؤال
الآن صار عندنا حدثان، يمكننا أن نسوي احتمالاً مشروطاً:

السؤال: ما هو احتمال ظهور العدد 3، مع العلم بأن العدد فردي؟

المعلومة الإضافية:
الآن صار عندنا احتمال مشروط لأننا نعلم أن العدد فردي.

هذا يحصر النتائج المحتملة من {1, 2, 3, 4, 5, 6} إلى {1, 3, 5} فقط!

خلاص، أكدنا أن العدد الذي سيظهر فردي.
التحليل:
إذا كان الحدثان مرتبطين في بعض (غير مستقلين)، فالاحتمال المشروط سيغير النتيجة.
يا إما يرفع النتيجة أو يقلل النتيجة، أو إذا كان لا يؤثر في النتيجة فلن يغير شيئاً.
2
تطبيق القاعدة
نسوي احتمال مشروط: احتمالية حدوث B إذا علمنا أن A حصلت

الخطوة 1: تحديد الأحداث
• A = العدد فردي
• B = العدد 3
الخطوة 2: البسط - احتمال حدوثهما معاً
احتمالية ظهور عدد فردي وبنفس الوقت 3

العدد 3 هو فردي، فالحدثان يحصلان معاً عندما يظهر 3

P(\text{3 و فردي}) = P(\text{3}) = \frac{1}{6}
الخطوة 3: المقام - احتمال الشرط
احتمالية الشرط الذي تحقق (كون العدد فردي)

P(\text{فردي}) = \frac{1}{2}
الخطوة 4: تطبيق القاعدة
P(\text{3}|\text{فردي}) = \frac{P(\text{3 و فردي})}{P(\text{فردي})}
= \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}
= \frac{1}{6} \times \frac{2}{1} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
النتيجة النهائية: P(3|فردي) = 1/3

الاحتمال ارتفع من 1/6 إلى 1/3 بسبب حصر فضاء العينة!
3
التفسير
لماذا تغيرت النتيجة؟

بدون شرط:
فضاء العينة = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → 6 احتمالات
احتمال ظهور 3 = 1/6

مع الشرط (العدد فردي):
فضاء العينة المحصور = {1, 3, 5} → 3 احتمالات فقط
احتمال ظهور 3 من بين الأعداد الفردية = 1/3
حصرنا النتائج المحتملة، فارتفع احتمال ظهور 3 من 1/6 إلى 1/3!
الشرط حصر فضاء العينة من 6 نتائج إلى 3 نتائج، فارتفع الاحتمال

الملخص النهائي

القاعدة

P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}
↓
البسط: معاً
↓
المقام: الشرط

بدون شرط

P(3) = 1/6
↓
من أصل 6 نتائج
↓
{1,2,3,4,5,6}

مع الشرط

P(3|فردي) = 1/3
↓
من أصل 3 نتائج
↓
{1,3,5}

النقاط الأساسية:

  • الاحتمال المشروط يحسب احتمال حدث بناءً على معلومة معروفة
  • القاعدة: نقسم احتمال حدوثهما معاً على احتمال الشرط
  • الشرط يحصر فضاء العينة ويغير الاحتمالات
  • إذا كانت الأحداث مرتبطة، الشرط يؤثر على النتيجة

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
الدرس السابق
8
الدرس التالي
ثالث ثانويالفصل الثاني
جاري تحميل التعليقات...