طريقة ضرب المصفوفات مع أمثلة

ضرب المصفوفات

شرط الضرب
أعمدة الأولى = صفوف الثانية
رتبة الناتج
صفوف الأولى × أعمدة الثانية
A×B ≠ B×A
عدم التبديل
١ شروط ضرب المصفوفات

— الشرط الأساسي: عدد أعمدة المصفوفة الأولى = عدد صفوف المصفوفة الثانية.

— رتبة المصفوفة الناتجة = صفوف الأولى × أعمدة الثانية.

A_{m \times n} \times B_{n \times p} = C_{m \times p}

مثال — يمكن الضرب:

A_{3 \times 2} \times B_{2 \times 4} = C_{3 \times 4}

مثال — لا يمكن الضرب:

A_{3 \times 2} \times B_{3 \times 4} \quad \text{---}
— أعمدة A = 2، صفوف B = 3 — غير متساويان.
الأرقام الداخلية متساوية → ضرب ممكن، الناتج = الأرقام الخارجية
٢ طريقة ضرب المصفوفات

— العنصر c_{ij} = حاصل ضرب الصف i من A في العمود j من B.

— نضرب كل عنصر من الصف في العنصر المقابل من العمود ثم نجمع النواتج.

c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{kj}

مثال — ضرب مصفوفة 2×3 في 3×2:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \quad B = \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix}
c_{11} 7+18+33 = 58
c_{12} 8+20+36 = 64
c_{21} 28+45+66 = 139
c_{22} 32+50+72 = 154
C = \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix}
٣ حاسبة تفاعلية — ضرب مصفوفتين 2×2

أدخل عناصر المصفوفتين لرؤية خطوات الضرب.

A
×
B
٤ خصائص ضرب المصفوفات
عدم التبديل A \times B \neq B \times A
التجميع (A \times B) \times C = A \times (B \times C)
التوزيع A \times (B+C) = A \times B + A \times C
مصفوفة الهوية A \times I = I \times A = A
الأهم: الترتيب مهم دائماً — A×B لا يساوي B×A في العموم
٥ مسائل — جمع وطرح المصفوفات
— أوجد الناتج إن أمكن، وإلا اكتب "لا يمكن" مع ذكر السبب.

المسألة ١٣

\begin{bmatrix} 19 \\ -2 \\ 4 \\ 7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -5 \\ 8 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 24 \\ -10 \\ 3 \\ 7 \end{bmatrix}

المسألة ١٤

\begin{bmatrix} 4 & -3 & 3 \\ -8 & 12 & 1 \\ 0 & -1 & 5 \\ 7 & -9 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -3 & -8 & 12 \\ -11 & -5 & 3 \\ -1 & 22 & -9 \\ -6 & 31 & 9 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 7 & 5 & -9 \\ 3 & 17 & -2 \\ 1 & -23 & 14 \\ 13 & -40 & -5 \end{bmatrix}

المسألة ١٥

\begin{bmatrix} 62 \\ -37 \\ -4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 34 & 76 & -13 \end{bmatrix}
لا يمكن — الرتبتان مختلفتان: (3×1) ≠ (1×3)

المسألة ١٦

\begin{bmatrix} 2 & 4 & 11 \\ -6 & 12 & -3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 8 & -9 & -3 \\ 5 & 14 & 0 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} -6 & 13 & 14 \\ -11 & -2 & -3 \end{bmatrix}

المسألة ١٧

\begin{bmatrix} 5 \\ -9 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -3 \\ -7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 9 \\ 16 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 \\ -32 \end{bmatrix}

المسألة ١٨

\begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -4 \\ 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 8 & -3 \end{bmatrix}
لا يمكن — لا يمكن جمع مصفوفة (2×1) مع مصفوفة (2×2)
٦ ملخص الخصائص
الخاصية القاعدة ملاحظة
شرط الضربأعمدة الأولى = صفوف الثانيةالأرقام الداخلية
رتبة الناتجصفوف الأولى × أعمدة الثانيةالأرقام الخارجية
عدم التبديلA×B ≠ B×Aالترتيب مهم
التجميع(A×B)×C = A×(B×C)يُسمح بتغيير القوسين
التوزيعA×(B+C) = AB+ACالضرب يتوزع على الجمع
مصفوفة الهويةA×I = I×A = Aلا تغير المصفوفة
٧ الخلاصة
— شرط الضرب: أعمدة الأولى = صفوف الثانية — وإلا فلا يمكن الضرب.
— رتبة الناتج: خذ الرقم الأول من A والرقم الثاني من B.
— طريقة الحساب: كل عنصر c_{ij} = حاصل ضرب الصف i في العمود j.
— عدم التبديل: الترتيب مهم — A \times B \neq B \times A في العموم.
الدرس السابق
0
الدرس التالي
ثاني ثانوي الفصل الأول
جاري تحميل التعليقات...

دروس ذات صلة

أمثلة حساب الضرب الاتجاهي بالمصفوفات

الثانوية

طريقة ايجاد محددة المصفوفات 3x3

الثانوية

تعريف المصفوفات ورتبها

الثانوية

شروط ضرب المصفوفات

الثانوية

ماهي الدالة

الثانوية

شرح طريقة ضرب المصفوفات مع أمثلة – ثاني ثانوي | أكاديمية موسى