قاعدة كرامر لحل نظام من معادلتين

طريقة كريمر لحل نظام المعادلات

الرياضيات — الوحدة الأولى

شرط التطبيق

D ≠ 0

القانون

x=D_x/D

،

y=D_y/D

المصفوفة المساعدة

استبدال عمود المتغير

١ مقدمة — طريقة كريمر

— طريقة كريمر طريقة منتظمة وخوارزمية تعتمد على المحددات.
— مناسبة للبرمجة لكونها ذات خطوات ثابتة ومتسلسلة.
— الحل = قسمة المحددات المساعدة على محددة المعاملات.

شكل النظام الثنائي:

a_1 x + b_1 y = c_1

a_2 x + b_2 y = c_2

٢ قانون كريمر

D

محددة مصفوفة المعاملات

D_x

استبدل عمود

x

بعمود الثوابت

D_y

استبدل عمود

y

بعمود الثوابت

x = \frac{D_x}{D}

y = \frac{D_y}{D}

— يجب أن يكون

D \neq 0

لضمان وجود حل وحيد. إذا

D = 0

فالنظام إما بلا حل أو له حلول لانهائية.

٣ خطوات تطبيق طريقة كريمر

الخطوة ١ كوِّن مصفوفة المعاملات واحسب

D

الخطوة ٢ أنشئ المصفوفات المساعدة

D_x

،

D_y

الخطوة ٣ احسب محددات المصفوفات المساعدة

الخطوة ٤ طبّق

x = D_x/D

و

y = D_y/D

الخطوة ٥ تحقق بالتعويض في المعادلات الأصلية

تحقق دائماً من أن D ≠ 0 قبل البدء

٤ مثال تطبيقي شامل

5x - 6y = 15

3x + 4y = -29

المعادلة ١: 5x − 6y = 15 | المعادلة ٢: 3x + 4y = −29

الخطوة ١ — مصفوفة المعاملات ومحددتها

D

:

D = \begin{vmatrix} 5 & -6 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}

= (5)(4) - (-6)(3)

= 20 + 18 = 38

—

D = 38 \neq 0

— يمكن تطبيق طريقة كريمر.

الخطوة ٢ — حساب

D_x

(استبدل عمود

x

بالثوابت):

D_x = \begin{vmatrix} 15 & -6 \\ -29 & 4 \end{vmatrix}

= (15)(4) - (-6)(-29)

= 60 - 174 = -114

الخطوة ٣ — حساب

D_y

(استبدل عمود

y

بالثوابت):

D_y = \begin{vmatrix} 5 & 15 \\ 3 & -29 \end{vmatrix}

= (5)(-29) - (15)(3)

= -145 - 45 = -190

الخطوة ٤ — تطبيق قانون كريمر:

x = \frac{-114}{38} = -3

y = \frac{-190}{38} = -5

الخطوة ٥ — التحقق:

5(-3) - 6(-5) = 15 \quad \checkmark

3(-3) + 4(-5) = -29 \quad \checkmark

x = −3 | y = −5

٥ شروط وخصائص مهمة

شرط الوجود

D \neq 0

للحل الوحيد

عدد المعادلات = عدد المجاهيل

نوع النظام خطي فقط

التحقق يُنصح دائماً بالتعويض

— لإيجاد

D_x

: استبدل العمود الأول (معاملات

x

) بعمود الثوابت.

٦ ملخص الخطوات

الخطوة	الإجراء	الرمز
١	احسب محددة المعاملات	$D$
٢	استبدل عمود $x$ بالثوابت واحسب	$D_x$
٣	استبدل عمود $y$ بالثوابت واحسب	$D_y$
٤	$x = D_x \div D$	$x$
٥	$y = D_y \div D$	$y$
٦	تحقق بالتعويض في الأصل	✓

٧ الخلاصة

— أساس الطريقة: احسب D أولاً — إن كانت صفراً توقف، النظام لا يملك حلاً وحيداً.
— المصفوفة المساعدة: استبدل عمود المتغير المطلوب بعمود الثوابت فقط.
— القانون: x = Dx/D، y = Dy/D — قسمة مباشرة.
— التحقق: عوّض في المعادلتين الأصليتين للتأكد من صحة الحل.

تمارين طريقة كريمر

الرياضيات — الوحدة الأولى

ملخص النتائج

مسألة أ

x=4

،

y=3

مسألة ب

x=5

،

y=-6

الهدف: حل نظامين من المعادلات الخطية بتطبيق طريقة كريمر خطوة بخطوة

⊞ رسم بياني تفاعلي — تقاطع المعادلتين

المعادلة ١: 7x+3y=37 | المعادلة ٢: −5x−7y=−41 | التقاطع: (4، 3)

أ مسألة أ — حل النظام بطريقة كريمر

7x + 3y = 37

-5x - 7y = -41

١ مصفوفة المعاملات ومحددتها

D

A = \begin{bmatrix} 7 & 3 \\ -5 & -7 \end{bmatrix}

D = \begin{vmatrix} 7 & 3 \\ -5 & -7 \end{vmatrix}

= (7)(-7) - (3)(-5)

= -49 + 15 = -34

—

D = -34 \neq 0

— يمكن تطبيق طريقة كريمر.

٢ حساب

D_x

— نستبدل عمود

x

بعمود الثوابت

D_x = \begin{vmatrix} 37 & 3 \\ -41 & -7 \end{vmatrix}

= (37)(-7) - (3)(-41)

= -259 + 123 = -136

٣ حساب

D_y

— نستبدل عمود

y

بعمود الثوابت

D_y = \begin{vmatrix} 7 & 37 \\ -5 & -41 \end{vmatrix}

= (7)(-41) - (37)(-5)

= -287 + 185 = -102

٤ تطبيق قانون كريمر

x = \frac{D_x}{D} = \frac{-136}{-34} = 4

y = \frac{D_y}{D} = \frac{-102}{-34} = 3

٥ التحقق

7(4) + 3(3) = 37 \quad \checkmark

-5(4) - 7(3) = -41 \quad \checkmark

x = 4

y = 3

ب مسألة ب — حل النظام بطريقة كريمر

8x - 5y = 70

9x + 7y = 3

١ مصفوفة المعاملات ومحددتها

D

A = \begin{bmatrix} 8 & -5 \\ 9 & 7 \end{bmatrix}

D = \begin{vmatrix} 8 & -5 \\ 9 & 7 \end{vmatrix}

= (8)(7) - (-5)(9)

= 56 + 45 = 101

—

D = 101 \neq 0

— يمكن تطبيق طريقة كريمر.

٢ حساب

D_x

— نستبدل عمود

x

بعمود الثوابت

D_x = \begin{vmatrix} 70 & -5 \\ 3 & 7 \end{vmatrix}

= (70)(7) - (-5)(3)

= 490 + 15 = 505

٣ حساب

D_y

— نستبدل عمود

y

بعمود الثوابت

D_y = \begin{vmatrix} 8 & 70 \\ 9 & 3 \end{vmatrix}

= (8)(3) - (70)(9)

= 24 - 630 = -606

٤ تطبيق قانون كريمر

x = \frac{D_x}{D} = \frac{505}{101} = 5

y = \frac{D_y}{D} = \frac{-606}{101} = -6

٥ التحقق

8(5) - 5(-6) = 70 \quad \checkmark

9(5) + 7(-6) = 3 \quad \checkmark

x = 5

y = -6

جدول النتائج

المسألة	$D$	$D_x$	$D_y$	الحل
أ	−34	−136	−102	$x=4$ ، $y=3$
ب	101	505	−606	$x=5$ ، $y=-6$

الخلاصة

— الخطوة الأولى دائماً: احسب

D

— إن كانت صفراً فالنظام لا يملك حلاً وحيداً.

— $D_x$ : استبدل العمود الأول (معاملات

x

) بعمود الثوابت.

— $D_y$ : استبدل العمود الثاني (معاملات

y

) بعمود الثوابت.

— التحقق: عوِّض في المعادلتين الأصليتين — خطوة ضرورية لاكتشاف أخطاء الحساب.

1

حل النظام بطريقة كريمر: 5x - 6y = 15, 3x + 4y = -29

2

حل النظام: 2x + 3y = 7, 4x - y = 5

3

حل النظام: x - 2y = 4, 3x + y = 11

4

نظام ثلاثي: x + y + z = 6, 2x - y + z = 1, x + 2y - z = 3

5

حالة خاصة: x + 2y = 5, 2x + 4y = 10

6

تطبيق عملي: مسألة كلامية

ثاني ثانوي الفصل الأول

جاري تحميل التعليقات...

دروس ذات صلة

قاعدة كرامر لحل نظام من ٣ معادلات

الثانوية

حل نظام معادلات بطرق مختلفة: التعويض التقليدي و قاعدة كرامر و باستخدام النظير الضربي

الثانوية

حل نظام المعادلات باستخدام النظير الضربي للمصفوفة

الثانوية

الأعداد المركبة

الثانوية

تمثيل الأعداد المركبة في الإحداثيات الديكارتية والقطبية

الثانوية

شرح قاعدة كرامر لحل نظام من معادلتين – ثاني ثانوي | أكاديمية موسى