الدالة الأسية: دالة النمو والاضمحلال الأسي

١ التعريف — x في الأس

f(x) = a \cdot b^{\,(x-h)} + k

المتغير x موجود في الأس — هذا ما يميز الدالة الأسية

b (الأساس)b > 0 و b ≠ 1

aمعامل التمدد الرأسي

hالإزاحة الأفقية

kالإزاحة الرأسية

x في الأس يعني أننا نضرب الأساس في نفسه مرات متكررة — مثال: 2¹=2، 2²=4، 2³=8، 2⁴=16...

٢ الرسم التفاعلي — غيّر الأساس

—

الأساس b2.0

٣ خصائص الدالة حسب الأساس

b > 1

دالة متزايدة

نمو أسي

b = 1

خط مستقيم

ليست دالة أسية

0 < b < 1

دالة متناقصة

اضمحلال أسي

جميع الدوال الأسية تتقاطع مع محور y عند النقطة (0, 1) — لأن b⁰ = 1 دائماً

٤ سلوك الدالة عند x السالب ▼

a^{-n} = \frac{1}{a^n}

الأس السالب يعطي مقلوب القيمة

الأساس = 2 (أكبر من 1):

2^{-2}

= \frac{1}{4} = 0.25

2^{-3}

= \frac{1}{8} = 0.125

2^{-4}

= \frac{1}{16} = 0.0625

الأساس = 1/2 (بين 0 و 1):

\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{-1}

= 2^1 = 2

\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{-2}

= 2^2 = 4

\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{-7}

= 2^7 = 128

عند b>1: كلما تحركنا يساراً (x أكثر سالبية) اقتربت القيم من الصفر. عند 0<b<1: الدالة تتزايد كلما زادت القيمة السالبة.

٥ التطبيقات العملية ▼

نمو أسي (b > 1)

نمو الكائنات الحية، الفائدة المركبة، انتشار الأوبئة

اضمحلال أسي (0 < b < 1)

التحلل الإشعاعي، تناقص الأدوية في الجسم

القيمة التالية تعتمد على القيمة الحالية — هذا هو جوهر الدالة الأسية.

٦ الخلاصة

الحالة	قيمة b	السلوك	المدى
نمو أسي	b > 1	متزايدة بسرعة ↑↑	y > 0
اضمحلال أسي	0 < b < 1	متناقصة نحو الصفر ↓	y > 0
جميع الدوال الأسية: المجال = ℝ، تمر بـ (0,1)، لا تصل للصفر

النقطة المشتركة

(0, 1) — لأن b⁰ = 1 دائماً

الخط المقارب

y = 0 — الدالة لا تلمس محور x أبداً

اختبر فهمك