خصائص الأعداد الحقيقية

خصائص الأعداد الحقيقية - النقاط الأساسية

1️⃣ خاصية التبديل في الجمع والضرب

2️⃣ خاصية التجميع في الجمع والضرب

3️⃣ العنصر المحايد (الصفر في الجمع والواحد في الضرب)

4️⃣ خاصية النظير (الجمعي والضربي)

5️⃣ خاصية التوزيع والانغلاق

1️⃣ خاصية التبديل (التبادل)

تنص خاصية التبديل على أنه يمكن تبديل ترتيب العددين في عمليتي الجمع والضرب دون تغيير النتيجة.

a + b = b + a\unicode{8207}\text{ (الجمع)}

a \times b = b \times a\unicode{8207}\text{ (الضرب)}

أمثلة توضيحية:
✅ $5 + 2 = 2 + 5 = 7$
✅ $5 \times 2 = 2 \times 5 = 10$

ملاحظة: خاصية التبديل لا تعمل مع عمليتي الطرح والقسمة

2️⃣ خاصية التجميع

تنص خاصية التجميع على أنه عند جمع أو ضرب ثلاثة أعداد، يمكن تجميع العددين الأولين أو الأخيرين معاً دون تغيير النتيجة.

قانون التجميع

(a + b) + c = a + (b + c)

للجمع

(a \times b) \times c = a \times (b \times c)

للضرب

يمكن تجميع الأعداد بأي شكل نريده

أمثلة:
• $(5 + 2) + 7 = 7 + 7 = 14$
• $5 + (2 + 7) = 5 + 9 = 14$
• $(5 \times 2) \times 7 = 10 \times 7 = 70$
• $5 \times (2 \times 7) = 5 \times 14 = 70$

3️⃣ العنصر المحايد

العنصر المحايد هو العدد الذي لا يغير قيمة العدد الآخر عند إجراء العملية معه.

العناصر المحايدة في العمليات

الجمع

0

$a + 0 = a$
$0 + a = a$

الضرب

1

$a \times 1 = a$
$1 \times a = a$

4️⃣ خاصية النظير

لكل عدد حقيقي نظير جمعي ونظير ضربي (ما عدا الصفر في النظير الضربي).

أنواع النظائر

النظير الجمعي

نظير العدد $a$ هو $-a$

القانون:

a + (-a) = 0

(-a) + a = 0

مثال:

2 + (-2) = 0

أو

(-2) + 2 = 0

النظير الضربي (المقلوب)

نظير العدد $a$ هو $\frac{1}{a}$ (حيث $a \neq 0$ )

القانون:

a \times \frac{1}{a} = 1

حيث

a \neq 0

\frac{1}{a} \times a = 1

حيث

a \neq 0

مثال:

5 \times \frac{1}{5} = 1

تنبيه مهم: العدد صفر ليس له نظير ضربي لأن

\frac{1}{0}

غير معرّف (يؤدي إلى ما لا نهاية)

5️⃣ خاصية التوزيع والانغلاق

خاصية التوزيع تربط بين عمليتي الضرب والجمع، وخاصية الانغلاق تضمن بقاء النتيجة داخل مجموعة الأعداد الحقيقية.

خاصية التوزيع

a(b + c) = ab + ac\unicode{8207}\text{ (توزيع يساري)}

(b + c)a = ba + ca\unicode{8207}\text{ (توزيع يميني)}

مثال على التوزيع:
$3(4 + 5) = 3 \times 4 + 3 \times 5 = 12 + 15 = 27$
$(4 + 5) \times 3 = 4 \times 3 + 5 \times 3 = 12 + 15 = 27$

خاصية الانغلاق

إذا كان

a

و

b

عددين حقيقيين، فإن:
•

a + b

عدد حقيقي
•

a \times b

عدد حقيقي
أي أن نتيجة العمليات تبقى داخل مجموعة الأعداد الحقيقية

ملخص خصائص الأعداد الحقيقية

1️⃣ التبديل: $a + b = b + a$ و $a \times b = b \times a$

2️⃣ التجميع: $(a + b) + c = a + (b + c)$ و $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$

3️⃣ العنصر المحايد: الصفر في الجمع والواحد في الضرب

4️⃣ النظير: لكل عدد نظير جمعي وضربي (عدا الصفر)

5️⃣ التوزيع والانغلاق: توزيع الضرب على الجمع وبقاء النتائج حقيقية

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا

👨‍💻

ثاني ثانوي الفصل الأول

جاري تحميل التعليقات...