تعريف المصفوفات ورتبها

اختبر فهمك

اختبار المصفوفات

1
ما هي رتبة المصفوفة التالية؟ [[1, 4, -4, 0], [-2, 3, 6, -8]]

أسئلة متوقعة

مثال 1: تحديد رتبة المصفوفات

حدد رتبة كل مصفوفة فيما يأتي:

1المصفوفة: \begin{bmatrix} -9 & 6 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} -9 & 6 \end{bmatrix}

الحل: هذه مصفوفة صف واحد وعمودين

رتبة المصفوفة = 1×2

2المصفوفة: \begin{bmatrix} 15 & y \\ 8 & -9 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 15 & y \\ 8 & -9 \end{bmatrix}

الحل: هذه مصفوفة مربعة بصفين وعمودين

رتبة المصفوفة = 2×2

3المصفوفة: \begin{bmatrix} 6 & 11 & -4 & -2 \\ -8 & 5 & -1 & 0 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 6 & 11 & -4 & -2 \\ -8 & 5 & -1 & 0 \end{bmatrix}

الحل: هذه مصفوفة بصفين وأربعة أعمدة

رتبة المصفوفة = 2×4

4المصفوفة: \begin{bmatrix} 4 & -3 & -1 \\ x & 3y & 0 \\ 8 & 12 & 11 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 4 & -3 & -1 \\ x & 3y & 0 \\ 8 & 12 & 11 \end{bmatrix}

الحل: هذه مصفوفة مربعة بثلاثة صفوف وثلاثة أعمدة

رتبة المصفوفة = 3×3

5المصفوفة: \begin{bmatrix} 2 \\ x \\ -3 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 2 \\ x \\ -3 \end{bmatrix}

الحل: هذه مصفوفة عمود بثلاثة صفوف وعمود واحد

رتبة المصفوفة = 3×1

6المصفوفة: \begin{bmatrix} 115 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 115 \end{bmatrix}

الحل: هذه مصفوفة بصف واحد وعمود واحد

رتبة المصفوفة = 1×1
مثال 2: تحديد عناصر المصفوفة

إذا كانت:

A = [ 6 y ] B = [10 -8 2x]
[-9 31 ] [-2 19 4]
[11 5 ]

فما قيمة كل عنصر فيما يأتي:

7a_{21}

التفسير: العنصر a_{21} يعني العنصر في الصف الثاني والعمود الأول من المصفوفة A

A = \begin{bmatrix} 6 & y \\ \colorbox{pink}{-9} & 31 \\ 11 & 5 \end{bmatrix}

العنصر في الصف الثاني، العمود الأول
a_{21} = -9

8b_{22}

التفسير: العنصر b_{22} يعني العنصر في الصف الثاني والعمود الثاني من المصفوفة B

B = \begin{bmatrix} 10 & -8 & 2x \\ -2 & \colorbox{pink}{19} & 4 \end{bmatrix}

العنصر في الصف الثاني، العمود الثاني
b_{22} = 19

9b_{13}

التفسير: العنصر b_{13} يعني العنصر في الصف الأول والعمود الثالث من المصفوفة B

B = \begin{bmatrix} 10 & -8 & \colorbox{pink}{2x} \\ -2 & 19 & 4 \end{bmatrix}

العنصر في الصف الأول، العمود الثالث
b_{13} = 2x

10a_{12}

التفسير: العنصر a_{12} يعني العنصر في الصف الأول والعمود الثاني من المصفوفة A

A = \begin{bmatrix} 6 & \colorbox{pink}{y} \\ -9 & 31 \\ 11 & 5 \end{bmatrix}

العنصر في الصف الأول، العمود الثاني
a_{12} = y
مثال 2: تنظيم البيانات في مصفوفة

يبين الجدول أداة النقاط التي حصل عليها ثلاثة طلاب في مسابقة علمية تقدم على 3 جولات، نظم هذه البيانات في مصفوفة:

الاسم الجولة 1 الجولة 2 الجولة 3 المجموع
سعود 221 201 185 607
علي 168 233 159 560
مروان 187 189 211 587

1تحديد بنية المصفوفة

الصفوف: تمثل الطلاب الثلاثة (سعود، علي، مروان)

الأعمدة: تمثل الجولات الثلاث

رتبة المصفوفة: 3×3

2تنظيم البيانات

\begin{array}{c|ccc} & \text{الجولة1} & \text{الجولة2} & \text{الجولة3} \\ \hline \text{سعود} & 221 & 201 & 185 \\ \text{علي} & 168 & 233 & 159 \\ \text{مروان} & 187 & 189 & 211 \end{array}

3المصفوفة النهائية

\begin{bmatrix} 221 & 201 & 185 \\ 168 & 233 & 159 \\ 187 & 189 & 211 \end{bmatrix}
العمليات الممكنة:
  • مجموع كل صف: إجمالي نقاط كل طالب
  • مجموع كل عمود: إجمالي نقاط كل جولة
  • المجموع الكلي: إجمالي جميع النقاط
المصفوفة: [221 201 185; 168 233 159; 187 189 211]
الرتبة: 3×3
مثال 3: مخازن التمور

تخزين:

ثلاثة مخازن لتوريد التمور؛ الأول فيه 2000kg خلاص و 1200kg برحي و 500kg سكري، والثاني فيه 3000kg خلاص و 1175kg برحي و 2250kg سكري، والثالث فيه 2750kg خلاص و1500kg برحي و 1700kg سكري.

a) نظم البيانات في مصفوفة، على أن تكون محتويات المخازن أعمدة المصفوفة.
b) أوجد مجموع عناصر كل عمود، وماذا يمثل هذا المجموع؟
c) أوجد مجموع عناصر كل صف، وماذا يمثل هذا المجموع؟

aتنظيم البيانات في مصفوفة

تحديد بنية المصفوفة:

الصفوف: أنواع التمور (خلاص، برحي، سكري)

الأعمدة: المخازن (المخزن 1، المخزن 2، المخزن 3)

\begin{array}{c|ccc} & \text{المخزن1} & \text{المخزن2} & \text{المخزن3} \\ \hline \text{خلاص} & 2000 & 3000 & 2750 \\ \text{برحي} & 1200 & 1175 & 1500 \\ \text{سكري} & 500 & 2250 & 1700 \end{array}
المصفوفة: \begin{bmatrix} 2000 & 3000 & 2750 \\ 1200 & 1175 & 1500 \\ 500 & 2250 & 1700 \end{bmatrix}

bمجموع عناصر كل عمود

العمود الأول (المخزن 1):
2000 + 1200 + 500 = 3700\text{kg}
العمود الثاني (المخزن 2):
3000 + 1175 + 2250 = 6425\text{kg}
العمود الثالث (المخزن 3):
2750 + 1500 + 1700 = 5950\text{kg}
مجموع الأعمدة:
المخزن 1: 3700kg | المخزن 2: 6425kg | المخزن 3: 5950kg
التفسير: إجمالي كمية التمور في كل مخزن

cمجموع عناصر كل صف

الصف الأول (الخلاص):
2000 + 3000 + 2750 = 7750\text{kg}
الصف الثاني (البرحي):
1200 + 1175 + 1500 = 3875\text{kg}
الصف الثالث (السكري):
500 + 2250 + 1700 = 4450\text{kg}
مجموع الصفوف:
الخلاص: 7750kg | البرحي: 3875kg | السكري: 4450kg
التفسير: إجمالي كمية كل نوع من التمور في جميع المخازن

📊ملخص النتائج

التحليل النتيجة التفسير إجمالي المخزن الأول 3,700 kg أقل المخازن محتوى إجمالي المخزن الثاني 6,425 kg أكبر المخازن محتوى إجمالي المخزن الثالث 5,950 kg متوسط المحتوى إجمالي الخلاص 7,750 kg أكثر الأنواع توفراً إجمالي البرحي 3,875 kg أقل الأنواع توفراً إجمالي السكري 4,450 kg متوسط التوفر

الشرح

مقدمة: ما هي المصفوفات؟

المصفوفة هي ترتيب منتظم للأرقام أو الرموز في صفوف وأعمدة

تُستخدم المصفوفات في:

  • حل أنظمة المعادلات الخطية
  • تنظيم البيانات والمعلومات
  • العمليات الحاسوبية والبرمجة
  • النمذجة الرياضية في العلوم والهندسة

التعريف الأساسي:

المصفوفة عبارة عن مجموعة من العناصر مرتبة في شكل مستطيل من الصفوف والأعمدة

\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}
رتبة المصفوفة (Matrix Order)

تعريف رتبة المصفوفة:

رتبة المصفوفة = عدد الصفوف × عدد الأعمدة

مثال: مصفوفة 2×3 تعني مصفوفة بـ 2 صف و 3 أعمدة

مصفوفة 2×2:

\begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 7 \end{bmatrix}

صفين وعمودين

مصفوفة 3×2:

\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}

ثلاثة صفوف وعمودين

مصفوفة 2×4:

\begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \end{bmatrix}

صفين وأربعة أعمدة

خطوات تحديد رتبة المصفوفة:

1احسب عدد الصفوف (الخطوط الأفقية)

2احسب عدد الأعمدة (الخطوط العمودية)

3اكتب الرتبة كـ: صفوف × أعمدة

أنواع المصفوفات

المصفوفة المربعة:

عدد الصفوف = عدد الأعمدة

\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

رتبة 2×2

مصفوفة الصف:

صف واحد فقط

\begin{bmatrix} 5 & 3 & 1 & 7 \end{bmatrix}

رتبة 1×4

مصفوفة العمود:

عمود واحد فقط

\begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 8 \end{bmatrix}

رتبة 3×1

جمع المصفوفات

شرط جمع المصفوفات:

يمكن جمع مصفوفتين فقط إذا كانت لهما نفس الرتبة

أي نفس عدد الصفوف ونفس عدد الأعمدة

طريقة الجمع:

نجمع كل عنصر مع العنصر المقابل له في نفس الموضع

مثال: جمع مصفوفتين 2×2
\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2+1 & 3+4 \\ 5+6 & 1+2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 11 & 3 \end{bmatrix}

1تأكد من تساوي رتبة المصفوفتين

2اجمع العنصر (1,1) من المصفوفة الأولى مع العنصر (1,1) من الثانية

3كرر نفس العملية لجميع العناصر

طرح المصفوفات

قاعدة الطرح:

نفس شروط الجمع - يجب أن تكون المصفوفتان من نفس الرتبة

مثال: طرح مصفوفتين 2×3
\begin{bmatrix} 8 & 5 & 2 \\ 6 & 7 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 1 & 4 \\ 2 & 3 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8-3 & 5-1 & 2-4 \\ 6-2 & 7-3 & 1-0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 4 & -2 \\ 4 & 4 & 1 \end{bmatrix}

1تحقق من تساوي الرتبة

2اطرح كل عنصر من العنصر المقابل

3اكتب النتيجة في نفس الموضع

المصفوفات وحل المعادلات

تحويل نظام المعادلات إلى مصفوفة:

يمكن تمثيل أي نظام معادلات خطية على شكل مصفوفة

مثال: نظام معادلتين:

\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 4x - y = 1 \end{cases}

يمكن كتابته كمصفوفة:

\left[\begin{array}{cc|c} 2 & 3 & 7 \\ 4 & -1 & 1 \end{array}\right]

أو كمصفوفة معاملات منفصلة:

A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -1 \end{bmatrix}, \quad X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 7 \\ 1 \end{bmatrix}

خطوات التحويل:

1استخرج معاملات المتغيرات وضعها في مصفوفة A

2اكتب المتغيرات في مصفوفة عمود X

3اكتب الثوابت في مصفوفة عمود B

4النظام يصبح: AX = B

مثال تطبيقي: مخازن التمور

المسألة:

ثلاثة مخازن للتمور تحتوي على:

  • المخزن الأول: 2000kg خلاص، 1200kg برحي، 500kg سكري
  • المخزن الثاني: 3000kg خلاص، 1175kg برحي، 2250kg سكري
  • المخزن الثالث: 2750kg خلاص، 1500kg برحي، 1700kg سكري

تنظيم البيانات في مصفوفة:

\begin{array}{c|ccc} & \text{خلاص} & \text{برحي} & \text{سكري} \\ \hline \text{مخزن 1} & 2000 & 1200 & 500 \\ \text{مخزن 2} & 3000 & 1175 & 2250 \\ \text{مخزن 3} & 2750 & 1500 & 1700 \end{array}

رتبة المصفوفة: 3×3 (3 مخازن × 3 أنواع تمور)

العمليات الممكنة:

1مجموع كل عمود: إجمالي كل نوع تمر

2مجموع كل صف: إجمالي كل مخزن

3المجموع الكلي: جميع التمور في جميع المخازن

\begin{align} \text{إجمالي الخلاص} &= 2000 + 3000 + 2750 = 7750\text{kg} \\ \text{إجمالي البرحي} &= 1200 + 1175 + 1500 = 3875\text{kg} \\ \text{إجمالي السكري} &= 500 + 2250 + 1700 = 4450\text{kg} \end{align}
تمارين للممارسة

تمرين 1: تحديد رتبة المصفوفات

حدد رتبة كل مصفوفة مما يأتي:

\begin{bmatrix} 1 & 4 & -4 & 0 \\ -2 & 3 & 6 & -8 \end{bmatrix}

الجواب: 2×4

\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 5 \\ -7 \end{bmatrix}

الجواب: 4×1

\begin{bmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 9 \\ 17 & 21 \end{bmatrix}

الجواب: 3×2

تمرين 2: جمع المصفوفات

إذا كانت:

A = \begin{bmatrix} 6 & y \\ -9 & 31 \\ 11 & 5 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 10 & -8 & 2x \\ -2 & 19 & 4 \end{bmatrix}

أوجد قيم a₁₂, b₁₃, b₂₂, a₂₁

الحل:

  • a_{12} = y (العنصر في الصف 1، العمود 2 من المصفوفة A)
  • b_{13} = 2x (العنصر في الصف 1، العمود 3 من المصفوفة B)
  • b_{22} = 19 (العنصر في الصف 2، العمود 2 من المصفوفة B)
  • a_{21} = -9 (العنصر في الصف 2، العمود 1 من المصفوفة A)
النقاط الرئيسية
  • المصفوفة: ترتيب منتظم للأرقام في صفوف وأعمدة
  • رتبة المصفوفة: عدد الصفوف × عدد الأعمدة
  • شرط الجمع والطرح: نفس الرتبة للمصفوفتين
  • طريقة الجمع/الطرح: جمع/طرح العناصر المتقابلة
  • التطبيقات: حل المعادلات وتنظيم البيانات
  • الترقيم: العنصر a_{ij} في الصف i والعمود j

حل بالخطوات

1
تحديد رتبة المصفوفة التالية:
\begin{bmatrix} 1 & 4 & -4 & 0 \\ -2 & 3 & 6 & -8 \end{bmatrix}
2
جمع المصفوفتين:
A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}
و
B = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 2 \end{bmatrix}
3
إيجاد قيمة العنصر a_{21} في المصفوفة:
A = \begin{bmatrix} 6 & y \\ -9 & 31 \\ 11 & 5 \end{bmatrix}
4
طرح المصفوفتين:
A = \begin{bmatrix} 8 & 5 & 2 \\ 6 & 7 & 1 \end{bmatrix}
-
B = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 4 \\ 2 & 3 & 0 \end{bmatrix}
5
تنظيم البيانات التالية في مصفوفة: المخزن الأول يحتوي على 2000kg خلاص و1200kg برحي، المخزن الثاني يحتوي على 3000kg خلاص و1175kg برحي
6
تحويل نظام المعادلات إلى صيغة مصفوفة:
\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 4x - y = 1 \end{cases}

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
الدرس السابق
399
الدرس التالي
جاري تحميل التعليقات...