تعريف المصفوفات ورتبها

مقدمة: ما هي المصفوفات؟

المصفوفة هي ترتيب منتظم للأرقام أو الرموز في صفوف وأعمدة

تُستخدم المصفوفات في:

حل أنظمة المعادلات الخطية
تنظيم البيانات والمعلومات
العمليات الحاسوبية والبرمجة
النمذجة الرياضية في العلوم والهندسة

التعريف الأساسي:

المصفوفة عبارة عن مجموعة من العناصر مرتبة في شكل مستطيل من الصفوف والأعمدة

\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}

رتبة المصفوفة (Matrix Order)

تعريف رتبة المصفوفة:

رتبة المصفوفة = عدد الصفوف × عدد الأعمدة

مثال: مصفوفة 2×3 تعني مصفوفة بـ 2 صف و 3 أعمدة

مصفوفة 2×2:

\begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 7 \end{bmatrix}

صفين وعمودين

مصفوفة 3×2:

\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}

ثلاثة صفوف وعمودين

مصفوفة 2×4:

\begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \end{bmatrix}

صفين وأربعة أعمدة

خطوات تحديد رتبة المصفوفة:

1احسب عدد الصفوف (الخطوط الأفقية)

2احسب عدد الأعمدة (الخطوط العمودية)

3اكتب الرتبة كـ: صفوف × أعمدة

أنواع المصفوفات

المصفوفة المربعة:

عدد الصفوف = عدد الأعمدة

\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

رتبة 2×2

مصفوفة الصف:

صف واحد فقط

\begin{bmatrix} 5 & 3 & 1 & 7 \end{bmatrix}

رتبة 1×4

مصفوفة العمود:

عمود واحد فقط

\begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 8 \end{bmatrix}

رتبة 3×1

جمع المصفوفات

شرط جمع المصفوفات:

يمكن جمع مصفوفتين فقط إذا كانت لهما نفس الرتبة

أي نفس عدد الصفوف ونفس عدد الأعمدة

طريقة الجمع:

نجمع كل عنصر مع العنصر المقابل له في نفس الموضع

مثال: جمع مصفوفتين 2×2

\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2+1 & 3+4 \\ 5+6 & 1+2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 11 & 3 \end{bmatrix}

1تأكد من تساوي رتبة المصفوفتين

2اجمع العنصر (1,1) من المصفوفة الأولى مع العنصر (1,1) من الثانية

3كرر نفس العملية لجميع العناصر

طرح المصفوفات

قاعدة الطرح:

نفس شروط الجمع - يجب أن تكون المصفوفتان من نفس الرتبة

مثال: طرح مصفوفتين 2×3

\begin{bmatrix} 8 & 5 & 2 \\ 6 & 7 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 1 & 4 \\ 2 & 3 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8-3 & 5-1 & 2-4 \\ 6-2 & 7-3 & 1-0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 4 & -2 \\ 4 & 4 & 1 \end{bmatrix}

1تحقق من تساوي الرتبة

2اطرح كل عنصر من العنصر المقابل

3اكتب النتيجة في نفس الموضع

المصفوفات وحل المعادلات

تحويل نظام المعادلات إلى مصفوفة:

يمكن تمثيل أي نظام معادلات خطية على شكل مصفوفة

مثال: نظام معادلتين:

\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 4x - y = 1 \end{cases}

يمكن كتابته كمصفوفة:

\left[\begin{array}{cc|c} 2 & 3 & 7 \\ 4 & -1 & 1 \end{array}\right]

أو كمصفوفة معاملات منفصلة:

A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -1 \end{bmatrix}, \quad X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 7 \\ 1 \end{bmatrix}

خطوات التحويل:

1استخرج معاملات المتغيرات وضعها في مصفوفة A

2اكتب المتغيرات في مصفوفة عمود X

3اكتب الثوابت في مصفوفة عمود B

4النظام يصبح: AX = B

مثال تطبيقي: مخازن التمور

المسألة:

ثلاثة مخازن للتمور تحتوي على:

المخزن الأول: 2000kg خلاص، 1200kg برحي، 500kg سكري
المخزن الثاني: 3000kg خلاص، 1175kg برحي، 2250kg سكري
المخزن الثالث: 2750kg خلاص، 1500kg برحي، 1700kg سكري

تنظيم البيانات في مصفوفة:

\begin{array}{c|ccc} & \text{خلاص} & \text{برحي} & \text{سكري} \\ \hline \text{مخزن 1} & 2000 & 1200 & 500 \\ \text{مخزن 2} & 3000 & 1175 & 2250 \\ \text{مخزن 3} & 2750 & 1500 & 1700 \end{array}

رتبة المصفوفة: 3×3 (3 مخازن × 3 أنواع تمور)

العمليات الممكنة:

1مجموع كل عمود: إجمالي كل نوع تمر

2مجموع كل صف: إجمالي كل مخزن

3المجموع الكلي: جميع التمور في جميع المخازن

\begin{align} \text{إجمالي الخلاص} &= 2000 + 3000 + 2750 = 7750\text{kg} \\ \text{إجمالي البرحي} &= 1200 + 1175 + 1500 = 3875\text{kg} \\ \text{إجمالي السكري} &= 500 + 2250 + 1700 = 4450\text{kg} \end{align}

تمارين للممارسة

تمرين 1: تحديد رتبة المصفوفات

حدد رتبة كل مصفوفة مما يأتي:

\begin{bmatrix} 1 & 4 & -4 & 0 \\ -2 & 3 & 6 & -8 \end{bmatrix}

الجواب: 2×4

\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 5 \\ -7 \end{bmatrix}

الجواب: 4×1

\begin{bmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 9 \\ 17 & 21 \end{bmatrix}

الجواب: 3×2

تمرين 2: جمع المصفوفات

إذا كانت:

A = \begin{bmatrix} 6 & y \\ -9 & 31 \\ 11 & 5 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 10 & -8 & 2x \\ -2 & 19 & 4 \end{bmatrix}

أوجد قيم a₁₂, b₁₃, b₂₂, a₂₁

الحل:

$a_{12} = y$ (العنصر في الصف 1، العمود 2 من المصفوفة A)
$b_{13} = 2x$ (العنصر في الصف 1، العمود 3 من المصفوفة B)
$b_{22} = 19$ (العنصر في الصف 2، العمود 2 من المصفوفة B)
$a_{21} = -9$ (العنصر في الصف 2، العمود 1 من المصفوفة A)

النقاط الرئيسية

المصفوفة: ترتيب منتظم للأرقام في صفوف وأعمدة
رتبة المصفوفة: عدد الصفوف × عدد الأعمدة
شرط الجمع والطرح: نفس الرتبة للمصفوفتين
طريقة الجمع/الطرح: جمع/طرح العناصر المتقابلة
التطبيقات: حل المعادلات وتنظيم البيانات
الترقيم: العنصر $a_{ij}$ في الصف $i$ والعمود $j$