ماهي المتباينات و كيف تختلف حلولها عن المساواة

اختبر فهمك

اختبار المتباينات

ما الفرق الأساسي بين المعادلات والمتباينات؟

أسئلة متوقعة

تصنيع المجوهرات

نص المسألة:

تصوغ أسماء من 10 إلى 25 عقدًا، ومن 15 إلى 40 سوارًا شهريًا. فإذا كانت أجرة صياغة العقد 50 ريالاً، وأجرة صياغة السوار 30 ريالاً، وصاغت في أحد الأشهر 30 قطعة من العقود والأساور على الأقل، فكم قطعة من كلا النوعين عليها صياغتها لتحصل على أكبر أجر؟

1تحديد المتغيرات

المتغير	الوصف
x	عدد العقود المصنوعة شهرياً
y	عدد الأساور المصنوعة شهرياً

2دالة الهدف (تعظيم الأجر)

Maximize: Z = 50x + 30y

حيث نريد تعظيم إجمالي الأجر من صناعة العقود والأساور

3القيود (Constraints)

10 ≤ x ≤ 25

عدد العقود بين 10 و 25

15 ≤ y ≤ 40

عدد الأساور بين 15 و 40

x + y ≥ 30

إجمالي القطع لا يقل عن 30

x ≥ 0, y ≥ 0

القيود غير السالبة

4الحل الرسومي

المنطقة الممكنة: النقاط داخل المنطقة المظللة

5نقاط الزوايا

النقطة	x (العقود)	y (الأساور)	قيمة Z = 50x + 30y
A	10	20	50(10) + 30(20) = 1100
B	15	15	50(15) + 30(15) = 1200
C	25	15	50(25) + 30(15) = 1700
D	25	40	50(25) + 30(40) = 2450
E	10	40	50(10) + 30(40) = 1700

الحل الأمثل:
x = 25 عقد، y = 40 سوار
الأجر الأقصى = 2450 ريال

إنتاج وحدات الإنارة

نص المسألة:

ينتج مصنع نوعين من وحدات الإنارة؛ يبيع النوع الأول بسعر 25 ريالاً، أما النوع الثاني فيباع بسعر 35 ريالاً. فإذا كانت الطاقة الإنتاجية للمصنع لا تزيد على 450 وحدة إنارة يومياً، وكان على المصنع أن ينتج ما لا يقل عن 100 وحدة إنارة من النوع الأول وما لا يزيد على 200 وحدة إنارة من النوع الثاني، فما عدد وحدات الإنارة اللازم إنتاجها من كل نوع ليكون دخل المصنع اليومي أكبر ما يمكن؟

1تحديد المتغيرات

المتغير	الوصف
x	عدد وحدات النوع الأول
y	عدد وحدات النوع الثاني

2دالة الهدف (تعظيم الدخل)

Maximize: Z = 25x + 35y

حيث نريد تعظيم إجمالي الدخل من بيع وحدات الإنارة

3القيود (Constraints)

x + y ≤ 450

الطاقة الإنتاجية اليومية

x ≥ 100

الحد الأدنى للنوع الأول

y ≤ 200

الحد الأقصى للنوع الثاني

x ≥ 0, y ≥ 0

القيود غير السالبة

4الحل الرسومي

المنطقة الممكنة: النقاط داخل المنطقة المظللة

5نقاط الزوايا

النقطة	x (النوع الأول)	y (النوع الثاني)	قيمة Z = 25x + 35y
A	100	0	25(100) + 35(0) = 2500
B	100	200	25(100) + 35(200) = 9500
C	250	200	25(250) + 35(200) = 13250
D	450	0	25(450) + 35(0) = 11250

الحل الأمثل:
x = 250 وحدة (النوع الأول)، y = 200 وحدة (النوع الثاني)
الدخل الأقصى = 13,250 ريال يومياً

إعادة التدوير

نص المسألة:

يقوم مصنع بإعادة تدوير ما لا يزيد على 1200 طن من البلاستيك شهرياً لصنع حاويات بمقاسين صغير وكبير، وعلى المصنع أن يستعمل ما لا يقل عن 300 طن في صنع الحاويات الصغيرة وما لا يقل عن 450 طناً في صنع الحاويات الكبيرة. إذا كان المصنع يحقق ربحاً قدره 175 ريالاً لكل طن بلاستيك تم استعماله لصنع الحاويات الصغيرة، و 200 ريال لكل طن تم استعماله لصنع الحاويات الكبيرة، فما أكبر ربح يمكن تحقيقه؟ وما عدد الأطنان المستعملة لكل نوع من الحاويات لتحقيق ذلك الربح؟

1تحديد المتغيرات

المتغير	الوصف
x	عدد أطنان البلاستيك للحاويات الصغيرة
y	عدد أطنان البلاستيك للحاويات الكبيرة

2دالة الهدف (تعظيم الربح)

Maximize: Z = 175x + 200y

حيث نريد تعظيم إجمالي الربح من إنتاج الحاويات

3القيود (Constraints)

x + y ≤ 1200

إجمالي البلاستيك المُعاد تدويره

x ≥ 300

الحد الأدنى للحاويات الصغيرة

y ≥ 450

الحد الأدنى للحاويات الكبيرة

x ≥ 0, y ≥ 0

القيود غير السالبة

4الحل الرسومي

المنطقة الممكنة: النقاط داخل المنطقة المظللة

5نقاط الزوايا

النقطة	x (الصغيرة)	y (الكبيرة)	قيمة Z = 175x + 200y
A	300	450	175(300) + 200(450) = 142,500
B	300	900	175(300) + 200(900) = 232,500
C	750	450	175(750) + 200(450) = 221,250

الحل الأمثل:
x = 300 طن (الحاويات الصغيرة)، y = 900 طن (الحاويات الكبيرة)
الربح الأقصى = 232,500 ريال شهرياً

الشرح

مقدمة: الفرق بين المعادلات والمتباينات

المعادلات

في المعادلات، نستخدم دائماً علامة يساوي (=)

x = 5

معناها أن x تساوي نقطة واحدة فقط

المتباينات

في المتباينات، نستبدل علامة يساوي بعلامة أكبر من أو أصغر من

x > 3

معناها أي عدد أكبر من 3 إلى ما لا نهاية يحقق هذه المتباينة

رموز المتباينات

أكبر من

x > 3

أصغر من

x < 5

≥

أكبر من أو يساوي

x ≥ 3

≤

أصغر من أو يساوي

x ≤ 5

المقارنة بين المعادلات والمتباينات

الخاصية	المعادلات	المتباينات
الرمز المستخدم	=	>, <, ≥, ≤
عدد الحلول	حل واحد محدد	حلول متعددة (مجال)
مثال	x = 5	x > 3
الحل	x = 5 فقط	كل عدد أكبر من 3

أمثلة على المتباينات في بُعد واحد

مثال 1: x > 3

المعنى: أي عدد أكبر من 3

الحلول: 4, 5, 6, 7, ... إلخ

ملاحظة: الرقم 3 ليس ضمن الحل

مثال 2: x ≥ 3

المعنى: أي عدد أكبر من أو يساوي 3

الحلول: 3, 4, 5, 6, 7, ... إلخ

ملاحظة: الرقم 3 ضمن الحل هنا

المتباينات في بُعدين (المستوى الإحداثي)

عندما نتحدث عن بُعدين في المستوى الإحداثي، نستخدم X و Y معاً

مثال: x + y = 1

هذه معادلة خط ويمكن كتابتها كـ: y = 1 - x

📊 خط مستقيم في المستوى الإحداثي

الخط يمثل جميع النقاط التي تحقق المعادلة

مثال: x + y > 1

هذه متباينة تمثل منطقة في المستوى الإحداثي

كل شيء فوق الخط x + y = 1 يدخل ضمن الحل
الخط نفسه منقط لأنه ليس ضمن الحل

مثال: x + y ≥ 1

الخط غير منقط لأنه ضمن الحل

مثال: x + y < 1

نأخذ المساحة التي تحت الخط
الخط منقط

مثال: x + y ≤ 1

نأخذ المساحة التي تحت الخط
الخط غير منقط

ملخص القواعد المهمة

في المتباينات، لدينا حلول متعددة جداً (مجال من القيم)
علامة > أو < تعني أن النقطة الحدية ليست ضمن الحل
علامة ≥ أو ≤ تعني أن النقطة الحدية ضمن الحل
في المستوى الإحداثي، المتباينة تمثل منطقة وليس خط
الخط المنقط يعني أنه ليس ضمن الحل
الخط غير المنقط يعني أنه ضمن الحل
x + y > a تمثل المنطقة فوق الخط
x + y < a تمثل المنطقة تحت الخط

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا

👨‍💻

ثاني ثانوي الفصل الأول

جاري تحميل التعليقات...