طريقة ضرب المصفوفات مع أمثلة

اختبر فهمك

اختبار ضرب المصفوفات

ما الشرط الأساسي لضرب مصفوفتين؟

أسئلة متوقعة

مسألة 1: عملية طرح المصفوفات

أوجد الناتج:

\begin{bmatrix} 19 \\ -2 \\ 4 \\ 7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -5 \\ 8 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}

1فحص إمكانية العملية

الحل: المصفوفتان من نوع 4×1 (مصفوفة عمود)

لهما نفس الرتبة، لذا يمكن إجراء عملية الطرح

2إجراء عملية الطرح

العنصر الأول:
19 - (-5) = 19 + 5 = 24

العنصر الثاني:
-2 - 8 = -10

العنصر الثالث:
4 - 1 = 3

العنصر الرابع:
7 - 0 = 7

\begin{bmatrix} 24 \\ -10 \\ 3 \\ 7 \end{bmatrix}

مسألة 2: طرح مصفوفتين 4×3

أوجد الناتج:

\begin{bmatrix} 4 & -3 & 3 \\ -8 & 12 & 1 \\ 0 & -1 & 5 \\ 7 & -9 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -3 & -8 & 12 \\ -11 & -5 & 3 \\ -1 & 22 & -9 \\ -6 & 31 & 9 \end{bmatrix}

1فحص الرتبة

كلا المصفوفتين من الرتبة 4×3، لذا يمكن إجراء عملية الطرح

2طرح عناصر كل صف

الصف الأول: [4-(-3), -3-(-8), 3-12] = [7, 5, -9]
الصف الثاني: [-8-(-11), 12-(-5), 1-3] = [3, 17, -2]
الصف الثالث: [0-(-1), -1-22, 5-(-9)] = [1, -23, 14]
الصف الرابع: [7-(-6), -9-31, 4-9] = [13, -40, -5]

\begin{bmatrix} 7 & 5 & -9 \\ 3 & 17 & -2 \\ 1 & -23 & 14 \\ 13 & -40 & -5 \end{bmatrix}

مسألة 3: عملية غير ممكنة

أوجد الناتج:

\begin{bmatrix} 62 \\ -37 \\ -4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 34 & 76 & -13 \end{bmatrix}

1فحص رتبة المصفوفات

المصفوفة الأولى: 3×1 (مصفوفة عمود)

المصفوفة الثانية: 1×3 (مصفوفة صف)

2تحليل إمكانية العملية

الرتبتان مختلفتان: 3×1 ≠ 1×3

شرط الجمع: يجب أن تكون المصفوفتان من نفس الرتبة

لا يمكن إجراء العملية
السبب: الرتب مختلفة (3×1 و 1×3)

مسألة 4: طرح مصفوفتين 2×3

أوجد الناتج:

\begin{bmatrix} 2 & 4 & 11 \\ -6 & 12 & -3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 8 & -9 & -3 \\ 5 & 14 & 0 \end{bmatrix}

1فحص الرتبة

كلا المصفوفتين من الرتبة 2×3 ✓

2طرح العناصر المتقابلة

الصف الأول:
2-8 = -6
4-(-9) = 13
11-(-3) = 14

الصف الثاني:
-6-5 = -11
12-14 = -2
-3-0 = -3

\begin{bmatrix} -6 & 13 & 14 \\ -11 & -2 & -3 \end{bmatrix}

مسألة 5: عمليات مصفوفات الأعمدة

أوجد الناتج:

\begin{bmatrix} 5 \\ -9 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -3 \\ -7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 9 \\ 16 \end{bmatrix}

1فحص الرتب

جميع المصفوفات من نوع 2×1 (مصفوفات أعمدة) ✓

2إجراء العمليات بالترتيب

أولاً: الجمع

\begin{bmatrix} 5 \\ -9 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -3 \\ -7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5+(-3) \\ -9+(-7) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -16 \end{bmatrix}

ثانياً: الطرح

\begin{bmatrix} 2 \\ -16 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 9 \\ 16 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2-9 \\ -16-16 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 \\ -32 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} -7 \\ -32 \end{bmatrix}

مسألة 6: عمليات مختلطة غير ممكنة

أوجد الناتج:

\begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -4 \\ 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 8 & -3 \end{bmatrix}

1تحليل المصفوفات

المصفوفة الأولى: 2×1 (مصفوفة عمود)

المصفوفة الثانية: 2×1 (مصفوفة عمود)

المصفوفة الثالثة: 2×2 (مصفوفة مربعة)

2فحص أول عمليتين

يمكن طرح المصفوفة الأولى من الثانية (كلاهما 2×1):

\begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -4 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 \\ 1 \end{bmatrix}

3فحص العملية الثالثة

محاولة جمع:

\begin{bmatrix} 9 \\ 1 \end{bmatrix}_{2×1} + \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 8 & -3 \end{bmatrix}_{2×2}

الرتب مختلفة: 2×1 ≠ 2×2

لا يمكن إكمال العملية
السبب: لا يمكن جمع مصفوفة 2×1 مع مصفوفة 2×2

ملخص النتائج

✓العمليات الممكنة

مسألة 1: طرح مصفوفات أعمدة 4×1
مسألة 2: طرح مصفوفات 4×3
مسألة 4: طرح مصفوفات 2×3
مسألة 5: عمليات متتالية على مصفوفات أعمدة 2×1

✗العمليات غير الممكنة

مسألة 3: جمع مصفوفة 3×1 مع مصفوفة 1×3
مسألة 6: جمع مصفوفة 2×1 مع مصفوفة 2×2

القاعدة المهمة:
عمليات الجمع والطرح تتطلب مصفوفات من نفس الرتبة تماماً

الشرح

مقدمة: ضرب المصفوفات

ضرب المصفوفات هو عملية رياضية متقدمة تُستخدم في العديد من التطبيقات العملية

تُستخدم في:

حل أنظمة المعادلات المعقدة
التحويلات الهندسية في الرسوميات
النمذجة الاقتصادية والإحصائية
معالجة الإشارات والصور

شروط ضرب المصفوفات

الشرط الأساسي:

عدد أعمدة المصفوفة الأولى = عدد صفوف المصفوفة الثانية

مصفوفة A (m×n) × مصفوفة B (n×p) = مصفوفة C (m×p)

أمثلة على الشروط:

✓ يمكن الضرب:

A(3×2) × B(2×4) = C(3×4)

عدد أعمدة A = عدد صفوف B = 2

✗ لا يمكن الضرب:

A(3×2) × B(3×4) = ممنوع

عدد أعمدة A ≠ عدد صفوف B

خطوات فحص إمكانية الضرب:

1حدد رتبة المصفوفة الأولى (m×n)

2حدد رتبة المصفوفة الثانية (p×q)

3تحقق: هل n = p؟

4إذا كان n = p، يمكن الضرب والناتج (m×q)

طريقة ضرب المصفوفات

القاعدة الأساسية:

العنصر في الصف i والعمود j من المصفوفة الناتجة = حاصل ضرب الصف i من المصفوفة الأولى في العمود j من المصفوفة الثانية

مثال تفصيلي: ضرب مصفوفة 2×3 في 3×2

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}_{2×3} × B = \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix}_{3×2}

خطوات الحل:

1فحص الشرط: أعمدة A = 3، صفوف B = 3 ✓

2رتبة الناتج: C = 2×2

C = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{bmatrix}

3حساب c₁₁: الصف الأول من A × العمود الأول من B

c₁₁ = (1×7) + (2×9) + (3×11) = 7 + 18 + 33 = 58

4حساب c₁₂: الصف الأول من A × العمود الثاني من B

c₁₂ = (1×8) + (2×10) + (3×12) = 8 + 20 + 36 = 64

5حساب c₂₁: الصف الثاني من A × العمود الأول من B

c₂₁ = (4×7) + (5×9) + (6×11) = 28 + 45 + 66 = 139

6حساب c₂₂: الصف الثاني من A × العمود الثاني من B

c₂₂ = (4×8) + (5×10) + (6×12) = 32 + 50 + 72 = 154

النتيجة: C = \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix}

خصائص ضرب المصفوفات

⚠️ خاصية عدم التبديل

بشكل عام: A × B ≠ B × A

ضرب المصفوفات ليس تبديلي

✓ خاصية التجميع

(A × B) × C = A × (B × C)

ضرب المصفوفات تجميعي

✓ خاصية التوزيع

A × (B + C) = (A × B) + (A × C)

الضرب يتوزع على الجمع

✓ المصفوفة المحايدة

A × I = I × A = A

حيث I هي مصفوفة الهوية

أمثلة تطبيقية

المسائل من الكتاب:

أوجد الناتج في كل مما يأتي إن أمكن، وإذا تعذر ذلك فاكتب "لا يمكن" مع ذكر السبب:

المسألة 13:

\begin{bmatrix} 19 \\ -2 \\ 4 \\ 7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -5 \\ 8 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}

الحل: طرح مصفوفات، ليس ضرب

المسألة 14:

\begin{bmatrix} 4 & -3 & 3 \\ -8 & 12 & 1 \\ 0 & -1 & 5 \\ 7 & -9 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -3 & -8 & 12 \\ -11 & -5 & 3 \\ -1 & 22 & -9 \\ -6 & 31 & 9 \end{bmatrix}

الحل: طرح مصفوفات 4×3

المسألة 15:

\begin{bmatrix} 62 \\ -37 \\ -4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 34 & 76 & -13 \end{bmatrix}

الحل: لا يمكن - رتب مختلفة (3×1 + 1×3)

المسألة 16:

\begin{bmatrix} 2 & 4 & 11 \\ -6 & 12 & -3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 8 & -9 & -3 \\ 5 & 14 & 0 \end{bmatrix}

الحل: طرح مصفوفات 2×3

المسألة 17:

\begin{bmatrix} 5 \\ -9 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -3 \\ -7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 9 \\ 16 \end{bmatrix}

الحل: عمليات على مصفوفات عمود 2×1

المسألة 18:

\begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -4 \\ 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 8 & -3 \end{bmatrix}

الحل: لا يمكن - رتب مختلفة (2×1 و 2×2)

تمارين للممارسة

تمرين 1: فحص إمكانية الضرب

حدد أي من العمليات التالية ممكنة:

A(2×3) × B(3×4)

النتيجة: ممكن، الناتج 2×4

C(4×2) × D(3×5)

النتيجة: غير ممكن (2 ≠ 3)

تمرين 2: ضرب مصفوفات بسيط

\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} × \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

الحل: الضرب في مصفوفة الهوية يعطي نفس المصفوفة

النقاط الرئيسية

شرط الضرب: أعمدة الأولى = صفوف الثانية
رتبة الناتج: (صفوف الأولى) × (أعمدة الثانية)
طريقة الحساب: صف × عمود = مجموع حاصل ضرب العناصر المتقابلة
عدم التبديل: A×B ≠ B×A في العموم
التجميع: (A×B)×C = A×(B×C)
التوزيع: A×(B+C) = A×B + A×C

حل بالخطوات

فحص إمكانية الضرب: A(3×2) × B(2×4)

ضرب المصفوفات:

\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} × \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

حساب حاصل ضرب صف في عمود: [1, 2, 3] × [4; 5; 6]

فحص عدم إمكانية الضرب: A(2×3) × B(4×2)

ضرب مصفوفة 3×1 في مصفوفة 1×3:

\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix} × \begin{bmatrix} 3 & -1 & 2 \end{bmatrix}

حساب A² حيث A =

\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا

👨‍💻

ثاني ثانوي الفصل الأول

جاري تحميل التعليقات...