الاحتمال الهندسي
الشرح
الاحتمال الهندسي
رياضيات — الاحتمالات
الهدف: فهم الاحتمال الهندسي وتطبيق قانون (الجزء ÷ الكل) على المساحات والأطوال والأزمنة.
تعريف الاحتمال الهندسي
— الاحتمال الهندسي يُستخدم مع القياسات المستمرة بدلاً من عد النتائج المنفصلة.
— القانون الأساسي: القياس المطلوب مقسوماً على القياس الكلي.
— البسط = الجزء المطلوب، والمقام = القياس الكلي:
— الأطوال: P = الطول المطلوب ÷ الطول الكلي.
— المساحات: P = المساحة المطلوبة ÷ المساحة الكلية.
— الأزمنة: P = الوقت المطلوب ÷ الوقت الكلي.
— الحجوم: P = الحجم المطلوب ÷ الحجم الكلي.
مثال ١ — رمي السهم على الدائرة
— دائرة كبيرة نصف قطرها R = 150، ودائرة حمراء داخلها نصف قطرها r = 60.
— ارمِ السهام بالضغط على الدائرة أو استخدم الأزرار:
— مساحة الدائرة الحمراء ÷ المساحة الكلية:
P = 16% — لاحظ كيف تقترب النتيجة الفعلية من 16% مع زيادة السهام
مثال ٢ — الاحتمال الزمني (القطار)
— قطار يصل كل ٢٠ دقيقة. وصلت المحطة في وقت عشوائي. حرّك السلايدر لتغيير وقت الانتظار المقبول:
— عند الانتظار المقبول = 5 دقائق وفترة القطار = 20 دقيقة:
مثال ٣ — مساحة الحديقة والبركة
— حديقة مستطيلة 300 × 200 فيها بركة دائرية نصف قطرها r. حرّك السلايدر:
— عند r = 50:
مثال ٤ — لوحة مربعة مع ٤ دوائر
— لوحة مربعة ضلعها 20 سم تحتوي على ٤ دوائر نصف قطر كل منها 3 سم.
— مساحة الدوائر الأربع ÷ مساحة المربع:
P ≈ 28.3%
ملخص أنواع الاحتمال الهندسي
الخلاصة
— الاحتمال الهندسي: يُستخدم مع القياسات المستمرة (لا نعد النتائج المنفصلة).
— القانون: P = الجزء المطلوب ÷ الكلي — ينطبق على المساحة والطول والزمن والحجم.
— الدوائر: مساحة الدائرة = πr² — الـ π يُلغى عند القسمة في أغلب مسائل الدوائر.
— الافتراض الأساسي: التوزيع منتظم — كل نقطة لها نفس الاحتمالية.