الحوادث غير المستقلة — الاحتمال المشروط

رياضيات — الاحتمالات

الهدف: فهم الفرق بين الحوادث المستقلة وغير المستقلة، وتطبيق قانون الاحتمال المشروط P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A).

غير مستقلة

الأول يؤثر على الثاني

P(B|A)

احتمال B بشرط حدوث A

بدون إرجاع

العدد ينقص بعد كل سحب

مستقلة أم غير مستقلة؟

— الحوادث المستقلة: حدوث الأول لا يغيّر احتمال الثاني — نرجع الكورة بعد كل سحب.

— الحوادث غير المستقلة: حدوث الأول يغيّر احتمال الثاني — لا نرجع الكورة.

الفرق العملي

— مع الإرجاع: عدد الكور يبقى ثابتاً في كل سحبة — الحوادث مستقلة.

— بدون إرجاع: عدد الكور ينقص بعد كل سحبة — الحوادث غير مستقلة.

قانون الاحتمال المشروط

— P(B|A) يُقرأ: "احتمال B بشرط أن A قد حدث".

— القانون العام للحوادث غير المستقلة:

P(A \cap B) = P(A) \times P(B \mid A)

— للمقارنة، قانون الحوادث المستقلة:

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

— الفرق: في المستقلة P(B) ثابت، وفي غير المستقلة P(B|A) يتغير.

مثال الصندوق والكور — تفاعلي

— صندوق فيه ٣ كور: خضراء وصفراء وحمراء.

— نسحب كورة ثم نسحب أخرى بدون إرجاع. اضغط على الخطوات:

الحل المفصل خطوة بخطوة

— السؤال: ما احتمالية سحب كورة صفراء أولاً ثم خضراء ثانياً بدون إرجاع؟

— الخطوة ١: الصندوق فيه ٣ كور، واحدة صفراء.

P(A) = \frac{1}{3}

— الخطوة ٢: بعد سحب الصفراء، تبقّت كورتان (خضراء وحمراء).

P(B \mid A) = \frac{1}{2}

— الخطوة ٣: نطبق القانون:

P(A \cap B) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}

P(صفراء ثم خضراء بدون إرجاع) = 1/6 ≈ 16.7%

أمثلة إضافية

— مثال ٢: نفس المسألة لو رجعنا الكورة (حوادث مستقلة).

— عدد الكور في السحبة الثانية = ٣ (كما في الأولى).

P = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \approx 11.1\%

— الاحتمال مع الإرجاع (⅑) أقل من بدون إرجاع (⅙) في هذه الحالة.

— مثال ٣: ما احتمالية سحب خضراء ثم خضراء أخرى بدون إرجاع؟

— بعد سحب الخضراء الأولى، لا توجد خضراء أخرى في الصندوق.

P(B \mid A) = 0 \quad \Rightarrow \quad P(A \cap B) = \frac{1}{3} \times 0 = 0

— حدث مستحيل: لا يمكن سحب خضراء مرتين من صندوق فيه خضراء واحدة.

مقارنة: مع وبدون إرجاع

العنصر	مع الإرجاع (مستقلة)	بدون إرجاع (غير مستقلة)
عدد الكور في السحبة ٢	ثابت (نفس الأصلي)	ينقص بواحد
تأثير السحبة الأولى	لا تؤثر	تؤثر
القانون	P(A) × P(B)	P(A) × P(B\|A)
صفراء ثم خضراء (٣ كور)	⅓ × ⅓ = 1/9	⅓ × ½ = 1/6

الخلاصة

— الحوادث غير المستقلة: حدوث A يغيّر احتمالية B — نستخدم P(B|A) لا P(B).

— القانون: P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A).

— بدون إرجاع: عدد العناصر ينقص فتتغير الاحتمالات في كل خطوة.

— حدث مستحيل: إذا استُنفد العنصر المطلوب فاحتمال P(B|A) = 0 والناتج = 0.

احتمال حادثتين غير مستقلتين

الشرح