مساحة المثلث بالقانون العام

اختبر فهمك

اختبار: مساحة المثلث بدلالة الزاوية اختبار: مساحة المثلث بدلالة الزاوية
ما هي قاعدة مساحة المثلث باستخدام ضلعين والزاوية المحصورة بينهما؟
لماذا نستخدم دالة الجيب (sin) في قاعدة مساحة المثلث؟
متى تكون مساحة المثلث أكبر ما يمكن (بثبات طولي الضلعين)؟
في مثلث أطوال ضلعيه 6 سم و 8 سم والزاوية بينهما 30°، ما مساحته؟
ما قيمة \sin(90°)؟
إذا كانت الزاوية بين ضلعين في مثلث 0°، فإن مساحة المثلث تساوي:
كيف تتحول قاعدة المساحة الجديدة إلى القاعدة التقليدية عند زاوية 90°؟
مثلثان لهما نفس طولي الضلعين، أحدهما بزاوية 50° والآخر بزاوية 130°. ما العلاقة بين مساحتيهما؟
ما مساحة مثلث أطوال ضلعيه 10 سم و 12 سم والزاوية بينهما 150°؟
متى تكون القاعدة الجديدة أفضل من القاعدة التقليدية؟

الشرح

مساحة المثلث من زاوية مختلفة مساحة المثلث من زاوية مختلفة

في نهاية هذا الدرس، ستكون قادراً على:

  • حساب مساحة المثلث باستخدام ضلعين والزاوية بينهما
  • فهم العلاقة بين الزاوية ومساحة المثلث
  • معرفة متى تكون مساحة المثلث أكبر ما يمكن
  • تطبيق القاعدة الجديدة في حل المسائل
القاعدة التقليدية لمساحة المثلث

نحن تعودنا في الرياضيات أن نقول:

مساحة المثلث = \frac{1}{2} \times القاعدة \times الارتفاع

وهذا يعني أن نأخذ أحد الأضلاع ونعتبره القاعدة، ثم نحسب الارتفاع (المسافة العمودية من القاعدة إلى الرأس المقابل).

التحدي: أحياناً نواجه صعوبة في إيجاد الارتفاع، خصوصاً إذا كان المثلث:
  • غير قائم الزاوية
  • منفرج الزاوية
  • في مسألة هندسية معقدة
القاعدة الجديدة: مساحة المثلث بدلالة الزاوية

سنتعلم قاعدة جديدة وشاملة لحساب مساحة أي مثلث باستخدام ضلعين والزاوية المحصورة بينهما:

مساحة المثلث = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(C)

حيث:

  • a و b طولا ضلعين في المثلث
  • C الزاوية المحصورة بين هذين الضلعين
استكشف تأثير الزاوية على المساحة
60°
المساحة = ½ × 5 × 4 × sin(60°) = 8.66 وحدة مربعة

قيمة sin(C) مع تغير الزاوية

لماذا نستخدم دالة الجيب (Sine)؟

لاحظ سلوك مساحة المثلث مع تغير الزاوية:

  • عندما تكون الزاوية صغيرة (قريبة من 0°) ← المساحة صغيرة
  • كلما زادت الزاوية ← تزداد المساحة
  • المساحة تصل إلى القمة عند 90°
  • بعد 90°، كلما زادت الزاوية ← تقل المساحة
  • عند 180° ← المساحة = 0 (لا يوجد مثلث)

هذا السلوك يطابق تماماً سلوك دالة الجيب (sine):

  • \sin(0°) = 0
  • \sin(90°) = 1 (القيمة العظمى)
  • \sin(180°) = 0
الحالة الخاصة: الزاوية القائمة

ماذا يحدث عندما تكون الزاوية بين الضلعين = 90°؟

القاعدة الجديدة

المساحة = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(90°)

= \frac{1}{2} \times a \times b \times 1

= \frac{1}{2} \times a \times b

القاعدة التقليدية

في المثلث القائم:

القاعدة = a

الارتفاع = b

المساحة = \frac{1}{2} \times a \times b

النتيجة: القاعدة الجديدة أشمل وأعم من القاعدة التقليدية، وتتحول إليها في حالة الزاوية القائمة!
أمثلة تطبيقية
مثال 1: حساب مساحة مثلث

في مثلث ABC، إذا كان:

  • AB = 8 سم
  • AC = 6 سم
  • الزاوية A = 30°

احسب مساحة المثلث.

مثال 2: مثلث بزاوية منفرجة

في مثلث XYZ، إذا كان:

  • XY = 10 سم
  • XZ = 7 سم
  • الزاوية X = 120°

احسب مساحة المثلث.

مثال 3: مقارنة مساحات مثلثات بنفس الأضلاع

لدينا ثلاثة مثلثات، جميعها لها نفس طولي الضلعين: 5 سم و 8 سم، ولكن الزاوية بينهما مختلفة:

  • المثلث الأول: الزاوية = 45°
  • المثلث الثاني: الزاوية = 90°
  • المثلث الثالث: الزاوية = 135°

قارن بين مساحات المثلثات الثلاثة.

الصيغ الثلاث للقاعدة

يمكن استخدام أي ضلعين والزاوية المحصورة بينهما:

المساحة = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(C)

المساحة = \frac{1}{2} \times b \times c \times \sin(A)

المساحة = \frac{1}{2} \times a \times c \times \sin(B)

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
الدرس السابق
60
الدرس التالي
ثاني ثانويالفصل الثالث
جاري تحميل التعليقات...
مساحة المثلث بالقانون العام | أكاديمية موسى