الدوال المثلثية المقلوبة — دالة الكوسيكانت

رياضيات — الدوال المثلثية

الهدف: التعرف على الدوال المثلثية المقلوبة (الكوسيكانت، السيكانت، الكوتانجنت)، ودراسة خصائص دالة الكوسيكانت ورسمها البياني.

الكوسيكانت

مقلوب دالة الجيب

المدى

لا قيم بين −1 و 1

الدورة

360° أو 2π راديان

الدوال المثلثية المقلوبة

— الدوال المقلوبة هي مقلوب الدوال الأساسية، أي واحد مقسوماً على الدالة الأصلية.

— الكوسيكانت هو مقلوب دالة الجيب:

\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}

— السيكانت هو مقلوب دالة الكوساين:

\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}

— الكوتانجنت هو مقلوب دالة التانجنت:

\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}

ملاحظة

— عندما نقسم على الصفر تذهب القيمة إلى ما لا نهاية، مما يُنشئ خطوطاً مقاربة عمودية في الرسم البياني.

خصائص دالة الكوسيكانت

— المجال: جميع الأعداد الحقيقية عدا مضاعفات 180°.

— أي: عدا {...، −360°، −180°، 0°، 180°، 360°، ...}

x \neq n\pi \quad (n \in \mathbb{Z})

— المدى: لا توجد قيم بين −1 و 1:

(-\infty,\,-1] \cup [1,\,+\infty)

— الدورة: تتكرر الدالة كل 360° أو 2π راديان.

— نقاط التماس: عند sin(x) = 1 تكون csc(x) = 1 (عند 90°).

— عند sin(x) = −1 تكون csc(x) = −1 (عند 270°).

شكل المنحنى

— من 0° إلى 180°: الفرع يفتح لأعلى (قيم موجبة).

— من 180° إلى 360°: الفرع يفتح لأسفل (قيم سالبة).

— كلما اقتربت sin(x) من الصفر، تذهب csc(x) إلى ±∞.

الرسم البياني التفاعلي — الكوسيكانت

— حرّك المؤشر فوق الرسم لرؤية قيم الدالة، وأدِر المتحكمات لعرض أو إخفاء دالة الجيب:

الزاوية: — | sin = — | csc = —

مقارنة الدوال المقلوبة الثلاث

— استخدم الأزرار لعرض أو إخفاء كل دالة:

الأزرق = csc | الأخضر = sec | الرمادي = cot

مقارنة الخصائص

الخاصية	csc(x)	sec(x)	cot(x)
التعريف	1 / sin(x)	1 / cos(x)	cos(x) / sin(x)
الدورة	360° = 2π	360° = 2π	180° = π
المدى	(-∞,-1]∪[1,∞)	(-∞,-1]∪[1,∞)	(-∞, +∞)
خطوط مقاربة عند	sin(x) = 0	cos(x) = 0	sin(x) = 0

الخلاصة

— الدوال المقلوبة: csc و sec و cot هي مقلوبات sin و cos و tan على التوالي.

— الكوسيكانت: csc(x) = 1/sin(x) غير معرّف عند مضاعفات 180°.

— المدى: لا توجد قيم لـ csc و sec بين −1 و 1، بينما cot يأخذ جميع القيم الحقيقية.

— الدورة: csc و sec دورتهما 360°، أما cot فدورتها 180° فقط.

— الخطوط المقاربة: تظهر عند كل نقطة يكون فيها مقام التعريف مساوياً للصفر.

دالة الكوسيكانت

الشرح