المتتابعات والمتسلسلات الهندسية

الشرح

المتتابعات والمتسلسلات الهندسية

١ الصيغ الأساسية

الحدّ النوني

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

a₁ = الحد الأول ، r = الأساس ، n = رقم الحد

مجموع المتسلسلة الهندسية

S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}, \quad r \neq 1

الصيغة العامة — بمعرفة a₁ و r و n

S_n = \frac{a_1 - a_n \cdot r}{1-r}, \quad r \neq 1

الصيغة البديلة — بمعرفة a₁ و aₙ و r

الأساس r

r = \frac{a_2}{a_1}

r > 1

المتتابعة تتزايد

0 < r < 1

المتتابعة تتناقص

r < 0

الحدود تتناوب الإشارة

٢ مثال ١ و ٢ — إيجاد الحدّ النوني وصياغته

أ — أحمد أرسل 5 رسائل في المرحلة الأولى، كل شخص يُرسل لـ 5 آخرين. أوجد عدد الرسائل في المرحلة الثامنة.

المعطيات

a_1 = 5,\quad r = 5,\quad n = 8

التعويض

a_8 = 5 \cdot (5)^{7} = 5 \cdot 78125

الجواب

a_8 = 390625 \text{ رسالة}

ب — المتتابعة: 0.5، 2، 8، 32، …

أوجد r

r = \dfrac{2}{0.5} = 4

الصيغة

a_n = 0.5 \cdot (4)^{n-1}

ج — المعطى: a₄ = 5، r = 6

أوجد a₁

5 = a_1 \cdot 6^{3} \Rightarrow a_1 = \dfrac{5}{216}

الصيغة

a_n = \dfrac{5}{216} \cdot (6)^{n-1}

٣ مثال ٣ — إيجاد الأوساط الهندسية

أوجد 3 أوساط هندسية بين 2 و 1250

عدد الحدود 3 أوساط + الطرفين = 5 حدود → n = 5

أوجد r

1250 = 2 \cdot r^{4} \;\Rightarrow\; r^4 = 625 \;\Rightarrow\; r = \pm 5

إذا r = 5

2,\quad 10,\quad 50,\quad 250,\quad 1250

إذا r = −5

2,\quad {-10},\quad 50,\quad {-250},\quad 1250

الأوساط الهندسية

10,\quad 50,\quad 250

أو

{-10},\quad 50,\quad {-250}

٤ مثال ٤ و ٥ — إيجاد مجموع متسلسلة هندسية

أ — مجموع رسائل البريد الإلكتروني حتى نهاية المرحلة الثامنة

المعطيات

a_1 = 5,\quad r = 5,\quad n = 8

التعويض

S_8 = \dfrac{5(1-5^8)}{1-5} = \dfrac{5(1-390625)}{-4}

الجواب

S_8 = 488280 \text{ رسالة}

ب — المجموع باستعمال رمز المجموع

\sum_{k=3}^{10} 4(2)^{k-1}

الحد الأول عند k=3

a_1 = 4 \cdot 2^{2} = 16

عدد الحدود

n = 10 - 3 + 1 = 8

r = 2، المجموع

S_8 = \dfrac{16(1-2^8)}{1-2} = \dfrac{16(-255)}{-1}

الجواب

S_8 = 4080

٥ أداة تفاعلية — استكشاف المتتابعة الهندسية

غيّر الحد الأول والأساس وعدد الحدود لترى كيف تنمو الحدود والمجموع التراكمي.

الحد الأول a₁ 2

الأساس r 2

عدد الحدود n 8

—

الحد النوني aₙ

—

المجموع Sₙ

—

الصيغة

—

ثاني ثانوي الفصل الثاني

جاري تحميل التعليقات...