التحويلات الهندسية مع دوال القيمة المطلقة

١ الحالتان الأساسيتان

الحالة الأولى

|f(x)|

القيمة المطلقة على كامل المعادلة

الأجزاء السالبة تنعكس للأعلى

الحالة الثانية

f(|x|)

القيمة المطلقة على x فقط

الدالة تصبح زوجية (تناظر حول y)

كل حالة لها طريقة رسم مختلفة تماماً — يجب التمييز بينهما!

٢ الحالة الأولى — |f(x)| تفاعلي

الخطوة ١ارسم الدالة الأصلية

الخطوة ٢حدد الأجزاء السالبة (تحت محور x)

الخطوة ٣اعكس الأجزاء السالبة للأعلى

—

٣ الحالة الثانية — f(|x|) تفاعلي

الخطوة ١ارسم الدالة لـ x ≥ 0 فقط (الجانب الأيمن)

الخطوة ٢انسَ الجانب الأيسر تماماً

الخطوة ٣اعكس حول محور y (طابق الأيسر مع الأيمن)

—

٤ حالة خاصة — دالة موجبة دائماً ▼

إذا كانت الدالة موجبة دائماً، فإن |f(x)| لن تغير شيئاً. مثال: sin(x) محصورة بين −1 و 1، إذن sin(x)+2 محصورة بين 1 و 3 (موجبة دائماً).

الخط الأزرق = sin(x)+2 — النقاط الحمراء = |sin(x)+2| — متطابقتان!

٥ مثال ١ — ارسم |x² − 9| ▼

الدالة الأصليةx²−9: قطع مكافئ مفتوح للأعلى، رأسه (0,−9)

تقاطع محور xعند x = ±3

الأجزاء السالبةبين −3 و 3

بعد العكسالرأس ينتقل من (0,−9) إلى (0,9)

الدالة |x²−9| موجبة دائماً، مع قمة جديدة عند (0,9)

٦ مثال ٢ — ارسم sin(|x|) ▼

الخطوة ١ارسم sin(x) لـ x ≥ 0 فقط

الخطوة ٢اعكس حول محور y

النتيجةدالة زوجية — sin(|2|) = sin(|−2|) = sin(2)

sin(|x|): دالة زوجية متناظرة حول محور y

٧ مثال ٣ — الفرق بين |x³−x| و |x|³−|x| ▼

|f(x)| = |x³−x|موجبة دائماً — الأجزاء السالبة تنعكس للأعلى

f(|x|) = |x|³−|x|زوجية — قد تظل سالبة

|f(x)|: تضمن أن الدالة موجبة دائماً — f(|x|): تجعل الدالة زوجية فقط

٨ لماذا f(|x|) تجعل الدالة زوجية؟

|-x| = |x| \implies f(|-x|) = f(|x|)

وهذا هو تعريف الدالة الزوجية

القيمة عند x=2 تساوي القيمة عند x=−2، وهكذا لجميع القيم. إذا طوينا المستوى على محور y، يتطابق الجانبان تماماً!

الشرح