دليل الدالة التربيعية الشامل

1. سبب التسمية

الدالة التربيعية تُسمى كذلك لأن أعلى أس للمتغير x هو 2 (تربيع).

- ✅ يمكن أن تحتوي على $x^2$, $x^1$, $x^0$ (الحد الثابت)

- ❌ لا يمكن أن تحتوي على $x^3$ أو أعلى

- ⚠️ المعامل الرئيسي $a eq 0$ (وإلا ستصبح دالة خطية)

2. الشكل القياسي

$f(x) = ax^2 + bx + c$

حيث:

- $a$: معامل $x^2$ (يجب أن يكون $a eq 0$)

- $b$: معامل $x$

- $c$: الحد الثابت

إذا كان $a = 0$، فسيختفي الحد $ax^2$ تماماً، وتصبح المعادلة:

$f(x) = bx + c$

وهذه دالة خطية وليست تربيعية.

3. الشكل البياني - القطع المكافئ (Parabola)

- الشكل: قطع مكافئ

- الاتجاه: يفتح إما لأعلى أو لأسفل

- التناظر: متناظر حول محور عمودي

| قيمة المعامل $a$ | اتجاه الفتح | الشكل |

|------------------|-------------|-------|

| $a > 0$ (موجب) | يفتح لأعلى ⬆️ | ∪ |

| $a < 0$ (سالب) | يفتح لأسفل ⬇️ | ∩ |

4. التطبيقات العملية

الدالة التربيعية تُستخدم لنمذجة الحركات التي تتضمن:

- رمي الكرة في الهواء

- مسار المقذوفات

- حركة المياه في النافورة

- مسار القفز

- الأجسام المتساقطة ثم المرتدة

- حركة البندول

- الاهتزازات

5. إحداثيات رأس القطع المكافئ (Vertex)

$$x_v = -\frac{b}{2a}$$ الطريقة الأولى: التعويض $$y_v = f(x_v) = f\left(-\frac{b}{2a}\right)$$ الطريقة الثانية: الصيغة المباشرة $$y_v = c - \frac{b^2}{4a}$$ $$\text{الرأس} = \left(-\frac{b}{2a}, c - \frac{b^2}{4a}\right)$$

6. سلوك محور التناظر

محور التناظر يتحرك عكس إشارة المعامل $b$

| إشارة $b$ | اتجاه محور التناظر |

|-----------|-------------------|

| $b > 0$ (موجب) | يتحرك يساراً ⬅️ |

| $b < 0$ (سالب) | يتحرك يميناً ➡️ |

| $b = 0$ | يقع على محور $y$ |

عندما $b = 0$، تصبح الدالة $f(x) = ax^2 + c$، والرأس يقع دائماً على محور $y$ في النقطة $(0, c)$.

7. ارتفاع الرأس

ارتفاع الرأس يتحكم فيه:

- المعامل $a$ (يؤثر على شكل الانحناء)

- المعامل $b$ (من خلال $b^2$ في معادلة الارتفاع)

- المعامل $c$ (نقطة البداية)

$$y_v = c - \frac{b^2}{4a}$$

8. جذور الدالة التربيعية

الجذور هي حلول المعادلة $f(x) = 0$، أو نقاط تقاطع القطع المكافئ مع محور $x$.

- الدالة التربيعية (أس 2): لها دائماً جذران

- الدالة التكعيبية (أس 3): لها ثلاثة جذور

- القاعدة العامة: درجة الدالة = عدد الجذور

#### الحالة الأولى: جذران حقيقيان مختلفان

الشرط: القطع المكافئ يتقاطع مع محور $x$ في نقطتين مختلفتين متى يحدث هذا؟

- رأس الشكل فوق محور $x$ والشكل يفتح لأسفل ($a < 0$)

- رأس الشكل تحت محور $x$ والشكل يفتح لأعلى ($a > 0$)

المميز: $\Delta = b^2 - 4ac > 0$

#### الحالة الثانية: جذران غير حقيقيان (تخيليان)

الشرط: القطع المكافئ لا يتقاطع مع محور $x$ متى يحدث هذا؟

- رأس الشكل فوق محور $x$ والشكل يفتح لأعلى ($a > 0$)

- رأس الشكل تحت محور $x$ والشكل يفتح لأسفل ($a < 0$)

المميز: $\Delta = b^2 - 4ac < 0$ ملاحظة: الجذور موجودة ولكن في عالم الأعداد المركبة (التخيلية).

#### الحالة الثالثة: جذر واحد مكرر

الشرط: القطع المكافئ يلمس محور $x$ في نقطة واحدة فقط متى يحدث هذا؟

- رأس الشكل يقع بالضبط على محور $x$

المميز: $\Delta = b^2 - 4ac = 0$

9. المميز (Discriminant)

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

| قيمة المميز | نوع الجذور | عدد التقاطعات مع محور x |

|------------|------------|-------------------------|

| $\Delta > 0$ | جذران حقيقيان مختلفان | 2 |

| $\Delta = 0$ | جذر واحد مكرر | 1 |

| $\Delta < 0$ | جذران تخيليان | 0 |

10. صيغة الجذور

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$

11. أمثلة تطبيقية

$f(x) = x^2 - 5x + 6$

- $a = 1 > 0$ (يفتح لأعلى)

- $\Delta = 25 - 24 = 1 > 0$

- الجذران: $x = 2, x = 3$

- رأس الشكل: $(2.5, -0.25)$ (تحت محور x)

$f(x) = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$

- $a = 1 > 0$ (يفتح لأعلى)

- $\Delta = 16 - 16 = 0$

- الجذر المكرر: $x = 2$

- رأس الشكل: $(2, 0)$ (على محور x)

$f(x) = x^2 + 2x + 5$

- $a = 1 > 0$ (يفتح لأعلى)

- $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$

- الجذران التخيليان: $x = -1 \pm 2i$

- رأس الشكل: $(-1, 4)$ (فوق محور x)

13. تأثير المعاملات على شكل الدالة

الوظيفة الأساسية: تحديد اتجاه فتح القطع المكافئ

| قيمة $a$ | اتجاه الفتح | موقع القيمة القصوى |

|----------|-------------|-------------------|

| $a > 0$ (موجب) | يفتح لأعلى ⬆️ | الرأس = أقل قيمة (قيمة صغرى) |

| $a < 0$ (سالب) | يفتح لأسفل ⬇️ | الرأس = أعلى قيمة (قيمة عظمى) |

أمثلة:

- $f(x) = 2x^2 + 3x - 1$ → $a = 2 > 0$ → يفتح لأعلى

- $f(x) = -x^2 + 4x + 5$ → $a = -1 < 0$ → يفتح لأسفل

الوظيفة الأساسية: الإزاحة العمودية للدالة

| قيمة $c$ | تأثيرها على الدالة |

|----------|-------------------|

| $c > 0$ (موجب) | ترفع الدالة لأعلى بمقدار $c$ |

| $c < 0$ (سالب) | تنزل الدالة لأسفل بمقدار $|c|$ |

| $c = 0$ | الدالة تمر عبر نقطة الأصل |

ملاحظة مهمة: $c$ يمثل قيمة الدالة عند $x = 0$ $f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c$ أمثلة:

- $f(x) = x^2 + 5$ → $c = 5$ → الدالة مرفوعة 5 وحدات لأعلى

- $f(x) = x^2 - 3$ → $c = -3$ → الدالة منزلة 3 وحدات لأسفل

- $f(x) = x^2$ → $c = 0$ → الدالة تمر عبر نقطة الأصل

الوظيفة الأساسية: تحديد موقع محور التناظر (الإزاحة الأفقية)

#### محور التناظر:

$x = -\frac{b}{2a}$

#### تأثير $b$ على الإزاحة الأفقية:

| قيمة $b$ | اتجاه الإزاحة | محور التناظر |

|----------|---------------|---------------|

| $b > 0$ (موجب) | ينزح يساراً ⬅️ | $x < 0$ |

| $b < 0$ (سالب) | ينزح يميناً ➡️ | $x > 0$ |

| $b = 0$ | لا توجد إزاحة | $x = 0$ (على محور y) |

سبب الاتجاه العكسي:

وجود الإشارة السالبة في معادلة محور التناظر $-\frac{b}{2a}$ يجعل الحركة عكس إشارة $b$.

أمثلة:

- $f(x) = x^2 + 4x + 1$ → $b = 4 > 0$ → محور التناظر: $x = -\frac{4}{2} = -2$ (يسار)

- $f(x) = x^2 - 6x + 2$ → $b = -6 < 0$ → محور التناظر: $x = -\frac{-6}{2} = 3$ (يمين)

- $f(x) = x^2 + 5$ → $b = 0$ → محور التناظر: $x = 0$ (على محور y)

14. أمثلة شاملة على تأثير المعاملات

- $a = 2 > 0$ → يفتح لأعلى، له قيمة صغرى

- $b = -8 < 0$ → محور التناظر: $x = -\frac{-8}{2(2)} = 2$ (يمين)

- $c = 3 > 0$ → يتقاطع مع محور y عند النقطة $(0, 3)$

- $a = -1 < 0$ → يفتح لأسفل، له قيمة عظمى

- $b = 6 > 0$ → محور التناظر: $x = -\frac{6}{2(-1)} = 3$ (يسار... لا! يمين لأن النتيجة موجبة)

- $c = -5 < 0$ → يتقاطع مع محور y عند النقطة $(0, -5)$

- $a = 1 > 0$ → يفتح لأعلى

- $b = 0$ → محور التناظر: $x = 0$ (على محور y، لا توجد إزاحة أفقية)

- $c = -4 < 0$ → يتقاطع مع محور y عند النقطة $(0, -4)$

1. 1. تحديد الشكل القياسي: $ax^2 + bx + c$
2. 2. تحديد اتجاه الفتح: علامة $a$
3. 3. حساب إحداثيات الرأس: $\left(-\frac{b}{2a}, c - \frac{b^2}{4a}\right)$
4. 4. حساب المميز: $\Delta = b^2 - 4ac$
5. 5. تحديد نوع الجذور: حسب قيمة $\Delta$
6. 6. التحقق: مقارنة النتائج مع التصور البياني

15. استراتيجية حل المسائل

1. 1. تحديد الشكل القياسي: $ax^2 + bx + c$
2. 2. تحديد اتجاه الفتح: علامة $a$
3. 3. حساب إحداثيات الرأس: $\left(-\frac{b}{2a}, c - \frac{b^2}{4a}\right)$
4. 4. حساب المميز: $\Delta = b^2 - 4ac$
5. 5. تحديد نوع الجذور: حسب قيمة $\Delta$
6. 6. تحليل تأثير المعاملات: $a$ (الاتجاه)، $b$ (الإزاحة الأفقية)، $c$ (الإزاحة العمودية)
7. 7. التحقق: مقارنة النتائج مع التصور البياني

- $a$: اتجاه الفتح (موجب = أعلى، سالب = أسفل)

- $b$: الإزاحة الأفقية (موجب = يسار، سالب = يمين)

- $c$: الإزاحة العمودية (موجب = أعلى، سالب = أسفل)

هذا الفهم العميق للدالة التربيعية يساعد في تصور الحل قبل البدء بالحسابات والتأكد من صحة النتائج بالمقارنة مع السلوك المتوقع للدالة.