📚 المعرفة المسبقة المطلوبة
قبل البدء في هذا الدرس، تأكد من فهمك لـ:
- الدالة التربيعية وشكلها العام
- رسم الدوال التربيعية على المستوى الإحداثي
- مفهوم محور التناظر في المنحنيات التربيعية
- العمليات الأساسية على المعادلات الجبرية
في هذا الدرس سنستكشف مفهومين أساسيين للدوال التربيعية: جذور الدالة والقيم القصوى
الدالة التربيعية لها دائماً جذران لأنها تربيعية (أس 2)
- إذا كانت دالة تكعيبية (أس 3) ← لازم 3 جذور
- إذا كانت دالة تربيعية (أس 2) ← لازم جذران
- القاعدة: درجة الدالة = عدد الجذور
تعريف الجذور
الجذور = نقاط تقاطع الدالة مع محور x
1️⃣ الحالة الأولى: جذران مختلفان
الوصف: المنحنى يتقاطع مع محور x في نقطتين منفصلتين
مثال بياني: عندنا جذرين واضحين ومختلفين عن بعض
2️⃣ الحالة الثانية: جذر واحد مكرر
متى يحدث؟ عندما رأس الشكل يتقاطع مع محور x
السلوك التدريجي:
- نبدأ بجذرين مختلفين (الحالة الأولى)
- نرفع الدالة إلى أعلى تدريجياً
- نلاحظ أن الجذرين يقتربان من بعض تدريجياً
- عندما يصل رأس الشكل لمحور x
- الجذران يتطابقان تماماً ← يصير جذر واحد مكرر
3️⃣ الحالة الثالثة: جذران غير حقيقيين
الوصف: ما في أي تقاطع مع محور x
متى يحدث؟
- الشكل يفتح إلى أعلى ورأس الشكل فوق محور x
- أو الشكل يفتح إلى أسفل ورأس الشكل تحت محور x
النتيجة: يكون عندنا جذران بس ما نشوفهم ← نسميهم جذرين غير حقيقيين
القاعدة الأساسية
القيمة القصوى تكون دائماً عند رأس المنحنى أو قاع المنحنى
حسب اتجاه فتح الدالة
إذا كانت الدالة تفتح إلى أعلى:
- عندنا أدنى قيمة للدالة تكون عند قاع المنحنى
- القاع = القيمة الصغرى
إذا كانت الدالة تفتح إلى أسفل:
- الرأس يكون أعلى قيمة في المنحنى
- الرأس = القيمة العظمى
1️⃣ الخطوة الأولى: إيجاد الإحداثي الأفقي (x)
إحداثي x يكون عند محور التناظر:
2️⃣ الخطوة الثانية: إيجاد الإحداثي العمودي (y)
- نأخذ قيمة
- نعوضها بدل x في المعادلة الأصلية
- النتيجة تعطينا إحداثي y
النتيجة النهائية
- إذا كان الشكل يفتح لأعلى ← هذه أقل قيمة في المنحنى
- إذا كان الشكل يفتح لأسفل ← هذه أعلى قيمة في المنحنى
📝 الخلاصة
القيم القصوى = القيم العظمى و القيم الصغرى
- القيمة الصغرى: أقل قيمة تصل لها الدالة (عند القاع إذا فتحت لأعلى)
- القيمة العظمى: أعلى قيمة تصل لها الدالة (عند الرأس إذا فتحت لأسفل)
جذور الدالة التربيعية
جذور الدالة التربيعية هي نقاط تقاطع منحنى الدالة مع محور س، وهي القيم التي تجعل:
د(س) = 0
وبما أن الدالة تربيعية، أي أن أكبر أس فيها هو 2، فإن لها دائمًا جذرين.
أما في الدالة التكعيبية التي يكون أكبر أس فيها 3، فيكون لها ثلاثة جذور، وهكذا بالنسبة لبقية كثيرات الحدود.
الحالة الأولى: جذران حقيقيان مختلفان
إذا قطع منحنى الدالة محور س في نقطتين مختلفتين، فإن للدالة جذرين حقيقيين مختلفين.
ويمكن ملاحظة هذين الجذرين مباشرة من الرسم البياني، حيث يمثل كل تقاطع مع محور س جذرًا للدالة.
الحالة الثانية: جذر حقيقي مكرر
إذا لامس رأس القطع المكافئ محور س دون أن يقطعه، فإن الجذرين يتطابقان ويصبح لدينا جذر حقيقي واحد مكرر.
ويمكن ملاحظة ذلك عند تحريك المنحنى تدريجيًا، حيث يقترب الجذران من بعضهما حتى يلتقيا عند رأس المنحنى، ثم يصبحان جذرًا واحدًا مكررًا.
الحالة الثالثة: جذران غير حقيقيين
إذا لم يقطع منحنى الدالة محور س إطلاقًا، فإن الجذور لا تظهر على الرسم البياني.
ويحدث ذلك إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا إلى أعلى ورأسه فوق محور س، أو كان مفتوحًا إلى أسفل ورأسه أسفل محور س.
وفي هذه الحالة تكون للدالة جذران غير حقيقيين، وينتميان إلى مجموعة الأعداد المركبة، ولذلك لا يظهران على المستوى الإحداثي الحقيقي.
القيم القصوى للدالة التربيعية
تمثل القيم القصوى أعلى أو أدنى قيمة تصل إليها الدالة، وتقع دائمًا عند رأس القطع المكافئ.
إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا إلى أعلى، فإن الرأس يمثل القيمة الصغرى للدالة.
أما إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا إلى أسفل، فإن الرأس يمثل القيمة العظمى للدالة.
إيجاد إحداثيات رأس المنحنى
لحساب الإحداثي الأفقي لرأس المنحنى نستخدم معادلة محور التناظر:
س = -ب ÷ (2أ)
ثم نعوض بقيمة س في الدالة للحصول على الإحداثي العمودي للرأس.
وبذلك نحصل على إحداثيات رأس المنحنى، والتي تمثل القيمة العظمى أو الصغرى للدالة بحسب اتجاه فتح القطع المكافئ.
عن هذا الدرس
جذور الدالة التربيعية جذور الدالة التربيعية هي نقاط تقاطع منحنى الدالة مع محور س، وهي القيم التي تجعل: د(س) = 0 وبما أن الدالة تربيعية، أي أن أكبر أس فيها… هذا الدرس ضمن الفصل الثالث لمنهج المرحلة المتوسطة ثالث متوسط في أكاديمية موسى.
