تحليل عميق للدلة التربيعية

الدالة التربيعية - درس شامل الدالة التربيعية - درس شامل

تعريف الدالة التربيعية

الدالة التربيعية هي دالة من الدرجة الثانية
f(x) = ax^2 + bx + c

لماذا سميت بالتربيعية؟

  • لأن أعلى قوة للمتغير x هي التربيع (x^2)
  • المعامل a \neq 0 للحفاظ على الحد التربيعي
  • إذا كان a = 0، تصبح الدالة خطية وليست تربيعية

شكل الدالة التربيعية

شكل الدالة التربيعية = قطع مكافئ (Parabola)

إذا كان a > 0

  • يفتح القطع المكافئ إلى أعلى
  • الرأس يمثل أقل قيمة (حد أدنى)

إذا كان a < 0

  • يفتح القطع المكافئ إلى أسفل
  • الرأس يمثل أعلى قيمة (حد أقصى)

دراسة المعاملات a, b, c

المعامل التأثير على الدالة ملاحظات
a يحدد اتجاه فتح القطع المكافئ وعرضه موجب → أعلى، سالب → أسفل
b يؤثر على موقع محور التماثل x = -\frac{b}{2a}
c تقاطع الدالة مع المحور y النقطة (0, c)

تجربة تفاعلية - تأثير المعاملات

1
0
0
f(x) = x^2

محور التماثل ونقطة الرأس

محور التماثل: x = -\frac{b}{2a}
نقطة الرأس: \left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)
مثال محلول 1: إيجاد نقطة الرأس

المعطى: f(x) = 2x^2 - 4x + 1

المطلوب: إيجاد محور التماثل ونقطة الرأس

1 تحديد المعاملات:
a = 2, b = -4, c = 1
2 حساب محور التماثل:
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{(-4)}{2 \times 2} = \frac{4}{4} = 1
3 حساب إحداثي y للرأس:
f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1
نقطة الرأس: (1, -1)
محور التماثل: x = 1

جذور الدالة التربيعية

الجذور = نقاط تقاطع الدالة مع المحور x
عندما f(x) = 0

حالات الجذور:

  1. جذران مختلفان: المنحنى يقطع المحور x في نقطتين
  2. جذر واحد مكرر: المنحنى يمس المحور x في نقطة واحدة (الرأس)
  3. لا توجد جذور حقيقية: المنحنى لا يلمس المحور x
مثال محلول 2: إيجاد الجذور

المعطى: f(x) = x^2 - 5x + 6

المطلوب: إيجاد جذور الدالة

1 وضع الدالة = 0:
x^2 - 5x + 6 = 0
2 التحليل إلى عوامل:
نبحث عن عددين ضربهما = 6 ومجموعهما = -5
العددان هما: -2 و -3
3 كتابة التحليل:
(x - 2)(x - 3) = 0
4 إيجاد الجذور:
x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2
x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3
الجذران: x_1 = 2, x_2 = 3

القانون العام لحل المعادلة التربيعية

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

المميز (Discriminant):

\Delta = b^2 - 4ac
قيمة المميز نوع الجذور الشكل البياني
\Delta > 0 جذران حقيقيان مختلفان يقطع المحور x في نقطتين
\Delta = 0 جذر واحد مكرر يمس المحور x في نقطة واحدة
\Delta < 0 لا توجد جذور حقيقية لا يلمس المحور x
مثال محلول 3: استخدام القانون العام

المعطى: 2x^2 + 3x - 1 = 0

المطلوب: حل المعادلة باستخدام القانون العام

1 تحديد المعاملات:
a = 2, b = 3, c = -1
2 حساب المميز:
\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(2)(-1) = 9 + 8 = 17
3 تطبيق القانون العام:
x = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2 \times 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}
x_1 = \frac{-3 + \sqrt{17}}{4} \approx 0.28
x_2 = \frac{-3 - \sqrt{17}}{4} \approx -1.28

التطبيقات العملية

مثال تطبيقي: رمي الكرة

المسألة: ترمى كرة رأسياً إلى أعلى من ارتفاع 5 أمتار بسرعة ابتدائية 20 م/ث

معادلة الارتفاع: h(t) = -5t^2 + 20t + 5

المطلوب: إيجاد أقصى ارتفاع ومتى تصل إليه الكرة

1 تحديد المعاملات:
a = -5, b = 20, c = 5
2 إيجاد زمن الوصول لأقصى ارتفاع:
t = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \times (-5)} = \frac{20}{10} = 2 \text{ ثانية}
3 حساب أقصى ارتفاع:
h(2) = -5(2)^2 + 20(2) + 5 = -20 + 40 + 5 = 25 \text{ متر}
أقصى ارتفاع: 25 متر
زمن الوصول: 2 ثانية

الخلاصة

الدالة التربيعية: f(x) = ax^2 + bx + c
الشكل: قطع مكافئ
الرأس: \left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)

النقاط المهمة:

  • المعامل a يحدد اتجاه الفتح (موجب → أعلى، سالب → أسفل)
  • المعامل c يمثل تقاطع المحور y
  • محور التماثل: x = -\frac{b}{2a}
  • عدد الجذور يعتمد على المميز \Delta = b^2 - 4ac
  • الدالة التربيعية تستخدم في مسائل القيم العظمى والصغرى
الدرس السابق
1
الدرس التالي
ثالث متوسطالفصل الثالث
جاري تحميل التعليقات...

عن هذا الدرس

الدالة التربيعية في هذا الدرس سنتعلم كيف نفهم الدالة التربيعية من معادلتها، ونتعرف على خصائصها، وشكلها البياني، واستخداماتها، وكيفية تحديد اتجاهها ورأسها… هذا الدرس ضمن الفصل الثالث لمنهج المرحلة المتوسطة ثالث متوسط في أكاديمية موسى.

دروس ذات صلة

الدالة التربيعية

المرحلة المتوسطة

جذور الدالة التربيعية

المرحلة المتوسطة

إكمال المربع لحل المعادلات التربيعية

المرحلة المتوسطة