تحليل الدوائر الكهربائية بطريقة Mesh Analysis: الارتفاع في الجهد يساوي الهبوط بأمثلة محلولة

قبل أن نبدأ: ورقة وقلم، والموضوع شبيه بالألعاب

من أصعب المواد التي يمر بها المهندسون، وخصوصًا مهندسو الكهرباء، وقد تجعل بعضهم يغيّر التخصص: مادة تحليل الدوائر Circuit Analysis. فلما تشوف دوائر كهربائية معقدة ويُطلب منك أن تجد التيار أو الفولت في أماكن معينة، أو أن تستخدم Mesh Analysis أو Nodal Analysis، ممكن تتعقد الأمور شوي.

لكن هذه المواضيع دائمًا أول شي تحتاج ورقة وقلم: لازم تاخذ ورقة وقلم وتحل بيدك.

النقطة الثانية: الموضوع شبيه بالألعاب. في البداية يكون صعبًا جدًا؛ لو شفت البوس قدامك في البداية ممكن تقول: مستحيل أفوز. بعدين ثاني يوم وثالث يوم ورابع يوم، لما تتعود على الموضوع، يصير بديهيًا وسهلًا جدًا. فحاول دائمًا أن تعطي الموضوع يومين إلى ثلاثة أيام لكي تستوعبه: جزئية في اليوم الأول، وجزئية في اليوم الثاني، وجزئية في اليوم الثالث. بعدها سترتاح وتجد المواضيع سهلة جدًا، ويمكن أن تخترع طرقًا مختلفة لحل نفس المسألة.

الأساسيات: دائرة على التوالي

خلونا نبدأ بالأساسيات. لو عندنا دائرة كهربائية مكوّنة من مصدر 12 فولت، وعندنا مقاومتان على التوالي: واحدة 2 أوم والتي بجانبها 4 أوم.

لو أردنا أن نجد التيار الذي يمر في هذه الدائرة نجمع المقاومتين: 2 زائد 4 يساوي 6. بعدين نستخدم القانون المعروف: التيار يساوي الفولت تقسيم المقاومة المكافئة، وهي 6. فـ 12 تقسيم 6 يساوي 2؛ معناه أن التيار الذي يمر هنا 2 أمبير.

نرجّع المقاومات كما كانت، 2 و4، وخلاص عرفنا أن التيار 2 أمبير.

هبوط الجهد على المقاومات

الـ 2 أمبير سيمر في الـ 2 أوم ويسبّب هبوطًا (drop) في الفولت. يعني الفولت عندنا 12 من عند المصدر، وهنا سيصير عندنا هبوط في الفولت عند المقاومة الأولى، وهنا هبوط ثانٍ عند المقاومة الثانية. فمعناه أن الـ 12 فولت ستتوزع على الـ 2 أوم وعلى الـ 4 أوم.

الهبوط في المقاومة الأولى يساوي التيار في المقاومة: 2 في 2 يساوي 4، فأربعة فولت تنزل عندنا في المقاومة الأولى. والهبوط في المقاومة الثانية يساوي التيار في المقاومة: 2 في 4 يساوي 8، فثمانية فولت تنزل في المقاومة الثانية.

لو جمعنا الهبوط في المقاومة الأولى والمقاومة الثانية نجد 4 زائد 8 يساوي 12، أي يساوي نفس مصدر الفولت 12.

فكرة Mesh Analysis

فهذه هي فكرة الـ Mesh Analysis: لما أسوي لوب (حلقة) هنا، أقول إن الارتفاع في الفولت، وهو عندنا المصدر الذي يعطينا ارتفاعًا في الفولت، يساوي الهبوط أو النزول في الفولت الذي سيحدث على المقاومات. هذا هو بكل بساطة.

ورغم أن هذه الدائرة بسيطة جدًا، خلونا نطبق عليها الـ Mesh Analysis. نفرض أن التيار هنا i1، ثم نقول إن الارتفاع في الفولت يساوي الهبوط في الفولت: 12 تساوي i1 في 2 زائد i1 في 4. وهكذا تطلع عندنا معادلة واحدة بمتغير واحد هو i1، ولما نحلها يطلع معنا i1 يساوي 2.

فهذه هي فكرة الـ Mesh Analysis. باقي فقط أن ننتبه لإشارة مصدر الفولت.

مثال ثانٍ: مصدران للفولت في دائرة واحدة

لو عندنا مصدران للفولت: على اليسار 20 فولت وعلى اليمين 8 فولت، وفي النص عندنا فوق مقاومة 2 أوم وتحت مقاومة 4 أوم.

الذي نبغى ننتبه له: إذا سوّينا اللوب هكذا، لما نمر على الـ 20 فولت نمر من عند السالب، ولما نمر على مصدر الـ 8 فولت على اليمين نمر على الموجب. هنا بدأنا في السالب وهنا بدأنا في الموجب، فلازم يصير فرق في الإشارات. وبداهةً من الرسمة نشوف أن الـ 20 فولت تدفع التيار إلى اليمين والـ 8 فولت تدفع التيار إلى اليسار، فهما عكس بعض، ما يدعمان بعض.

الآن نستخدم نفس الطريقة: الارتفاع في الفولت عندنا هو الـ 20 فولت. كل المقاومات نعتبرها نزولًا في الفولت. والـ 8 فولت نعتبرها أيضًا نزولًا، لأننا لما سوّينا اللوب مررنا على الموجب قبل السالب، أو بالأصح نقول إنها عكس الارتفاع الذي فرضناه للـ 20، فمعناه أن الـ 8 ستكون نزولًا.

لو كان السالب فوق والموجب تحت بالنسبة للـ 8 فولت، لقلنا إنها أيضًا ارتفاع، وهذا بديهي لأن تيارها سيدعم التيار الصادر من الـ 20 فولت.

فطريقة الـ Mesh: إذا سوّينا لوب في أي دائرة، فمجموع الارتفاع والنزول في الفولت يساوي صفرًا. فأول شيء نحدد الموجب والسالب: الـ 20 موجبة، والهبوط الذي سيكون على الـ 2 أوم سالب، والـ 8 أيضًا سالبة، والهبوط الذي سيكون على المقاومة 4 أوم سالب. فنقول: 20 ناقص i1 في 2 ناقص 8 ناقص 4 في i1 يساوي صفرًا.

ونفس الشيء لو وضعنا الارتفاع في جهة والانخفاض في جهة: 20 تساوي 2 في i1 زائد 8 زائد 4 في i1. لاحظ أنها نفس الشيء. بعد ذلك نحل i1 فيطلع معنا 2 أمبير. نفس الطريقة: معادلة واحدة ومتغير واحد.

مثال ثالث: دائرة فيها لوبان

الآن نأخذ دائرة ثانية فيها لوبان. هي سهلة نحلها من غير Mesh Analysis، لكن سنحلها بالـ Mesh Analysis لكي نتأكد ونعرف أننا فهمنا كل التفاصيل، فدائمًا هناك أكثر من طريقة لحل المسألة.

لو أخذنا هنا 12 فولت ويقابلها مقاومتان على التوازي: 3 أوم و6 أوم. لو طلبت منك التيار الذي يمر هنا، أول شيء: بما أن الفولت على التوازي مع المقاومتين، فالفولت هنا هو نفس 12، والفولت هنا هو نفس 12. فالتيار الذي يمر في المقاومة الأولى 3 هو 12 على 3 يساوي 4 أمبير، والتيار الذي يمر على 6 هو 12 تقسيم 6 يساوي 2 أمبير. معناه أن التيار الكلي الذي يمر هنا لازم يكون مجموعهما: 2 زائد 4 يساوي 6، فالتيار الذي يمر من هنا سيكون 6.

هذه الطريقة التقليدية، الأسرع والأبسط. لكن خلونا نستخدم Mesh Analysis: نسوي لوبين، لوب هنا ولوب هنا. ممكن أن نطوّل في الحل، لكن سنفهم ماذا نفعل في الـ Mesh Analysis بالضبط.

نأخذ هنا i1. بالنسبة لمصدر الفولت في هذا اللوب: إذا بدأنا من عند السالب وطلعنا إلى الموجب، كأننا طلعنا من سالب إلى موجب، فنعتبرها موجبة. واللوب الذي على اليمين نضع فيه i2.

الآن نبدأ التحليل. بالنسبة للوب 1 نقول: 12 ناقص، وهنا i1 ناقص i2، لأن في هذا اللوب عندنا i1 ولكنه يتصادم مع i2، فنقول (i1 ناقص i2) ضرب 3 يساوي صفرًا. أو نقول 12 تساوي 3 ضرب (i1 ناقص i2)، أي الارتفاع يساوي الانخفاض، أو ننقل السالب إلى اليمين؛ كلها نفس الشيء.

نسوي نفس الطريقة في اللوب الثاني: عندنا على اليمين i2 ضرب 6، وهذا يعتبر هبوطًا: سالب i2 ضرب 6. بعدين هنا سالب، لأن i2 تمشي من هنا وتتصادم مع i1، فالآن نسوي العكس: (i2 ناقص i1) نضربها في المقاومة 3، ونقول يساوي صفرًا.

فالآن صار عندنا معادلتان ومتغيران، معناه أننا نقدر نحل i1 وi2. ولما نحل يطلع معنا i1 يساوي 6 وi2 يساوي 2.

التحقق من تيار المقاومة 3 أوم

نرجع للتيار الذي يمر بالـ 3 أوم: نلاحظ أننا في الحالتين وصفناه وصفًا سليمًا. لما أخذنا اللوب الأول قلنا i1 ناقص i2: 6 ناقص 2 يساوي 4، صحيح. ولما أخذنا اللوب الثاني اعتبرنا أننا عكسناه، فقلنا i2 ناقص i1: 2 ناقص 6 يساوي سالب 4. ليش سالب؟ لأننا عكسناه.

فهذه الأساسيات التي لازم تتمكن منها: تجيب ورقة وقلم وتحلها، وتقعد تطالع في المسألة أكثر من مرة، وتحاول تفهم سلوك التيار مع الفولت مع المقاومة.