درس 24

احتمال النجاح والفشل

الاحتمال: تسمى النسبة التي تقيس فرصة وقوع حادثة معيَّنة احتمالًا. ووقوع الشيء المرغوب فيه يُسمّى نجاحًا، وعدم وقوعه يُسمّى فشلًا. ومجموعة النواتج الممكنة تُسمّى فضاء العينة. وكلما اقترب احتمال وقوع حادثة من 1، كانت فرصة أو إمكانية وقوعها أكبر.

مفهوم أساسي
احتمال النجاح والفشل
إذا كان عدد مرات نجاح وقوع حادثة s من المرات، وعدد مرات فشل وقوع الحادثة نفسها f من المرات، فإن احتمال النجاح يُكتب على النحو P(S)، كما يُكتب احتمال الفشل على النحو P(F). ويُعطى كل من احتمال النجاح واحتمال الفشل بالصيغتين الآتيتين:
P(S) = ss + f  ,  P(F) = fs + f

لاحظ أن الصيغة P(S) = ss + f لا تختلف في مضمونها عن الصيغة: P(الحادثة) = عدد النواتج في الحادثةعدد النواتج الممكنة

مثال 1
الاحتمال باستعمال التوافيق
رشّحت مدرسة 12 طالبًا من الصف الثاني الثانوي، و16 طالبًا من الصف الأول الثانوي للتنافس على 6 جوائز؛ نظرًا لتفوقهم الدراسي. إذا تمت مقابلة المرشحين، واختير 6 منهم بشكل عشوائي، فما احتمال أن يفوز بالجوائز 3 طلاب من الصف الأول الثانوي و3 طلاب من الصف الثاني الثانوي؟
الخطوة 1: حدّد عدد مرات النجاح s.
₁₂C₃ عدد طرق اختيار 3 طلاب من الصف الثاني هو
₁₆C₃ عدد طرق اختيار 3 طلاب من الصف الأول هو
استعمل التوافيق، ومبدأ العد الأساسي لإيجاد عدد النجاحات s:
s = ₁₂C₃ · ₁₆C₃ = 12!9! 3! · 16!13! 3! = 123200
الخطوة 2: حدّد عدد النواتج الممكنة (عدد عناصر فضاء العينة)، s + f.
s + f = ₂₈C₆ = 28!22! 6! = 376740
الخطوة 3: أوجد الاحتمال.
P(S) = ss + f احتمال النجاح
= 123200376740 ≈ 0.33 s = 123200 ، s + f = 376740
الاحتمال المطلوب هو تقريبًا 0.33 أو 33% تقريبًا.
✓ تحقق من فهمك
(1) في المثال 1 إذا كان عدد الذين رُشِّحوا من الصف الثاني الثانوي 3، ومن الصف الأول الثانوي 11، وكان عدد الجوائز 4، واختير 4 طلاب من الذين رُشِّحوا بطريقة عشوائية، فما احتمال أن يفوز طالبان من الصف الثاني وطالبان من الصف الأول؟
مثال 2 — من واقع الحياة
الاحتمال باستعمال التباديل
لدى صالح 6 أصدقاء تبدأ أسماؤهم بالأحرف A , B , C , D , E , F، ويتوقع من كل منهم اتصالًا هاتفيًّا للاتفاق على موعد رحلة ينوون القيام بها. ما احتمال أن يتصل A أولًا ثم B ثانيًا، ويتصل كل من D , E , F أخيرًا؟
الخطوة 1: حدِّد عدد مرات النجاح s.
1 عدد طرق اتصال A أولًا ثم B ثانيًا هو
₃P₃ عدد طرق اتصال كل من D , E , F في الأخير هو
استعمل التباديل ومبدأ العد الأساسي لإيجاد s:
s = 1 · ₃P₃ = 1 · 3! = 6
الخطوة 2: أوجد عدد النواتج الممكنة (عدد عناصر فضاء العينة)، s + f.
s + f = ₆P₆ = 6! = 720
وتمثل عدد الترتيبات الممكنة لاتصالات الأصدقاء الستة.
الخطوة 3: أوجد الاحتمال.
P(S) = ss + f احتمال النجاح
= 6720 s = 6 ، s + f = 720
≈ 0.0083 استعمل الآلة الحاسبة
الاحتمال المطلوب هو تقريبًا 0.008 أو 0.8% تقريبًا.
✓ تحقق من فهمك
(2) سباق: اشترك صلاح، وعبد الله، وسليم في سباق 400 m مع خمسة رياضيين آخرين. ما احتمال أن ينهي هؤلاء الثلاثة السباق في المراكز الثلاثة الأولى؟
1️⃣ ثلاث خطوات دائمًا: عدد النجاحات s ← عدد النواتج الممكنة s + f ← الاحتمال P(S) = ss + f
2️⃣ إذا كان الترتيب لا يهم (اختيار فائزين) استعمل التوافيق ₙCᵣ ، وإذا كان الترتيب يهم (مراكز، تسلسل اتصالات) استعمل التباديل ₙPᵣ
3️⃣ استعمل مبدأ العد الأساسي: اضرب عدد طرق كل جزء من الحادثة للحصول على s

جرّب بنفسك

اختبار الدرس

الاحتمال باستعمال التوافيق والتباديل

1 / 6
إذا كان عدد مرات نجاح وقوع حادثة s وعدد مرات فشلها f، فما صيغة احتمال النجاح P(S)؟