درس 23

الاحتمال المشروط

مفهوم أساسي
الاحتمال المشروط
إذا كانت A , B حادثتين غير مستقلتين، فإن الاحتمال المشروط لوقوع الحادثة B، إذا عُلِم أن الحادثة A قد وقعت يعرّف على النحو:
P(B | A) = P(A ∩ B)P(A) , P(A) ≠ 0
مثال 1
الاحتمال المشروط
ألقت عبير مكعب أرقام مرةً واحدةً. ما احتمال ظهور العدد 3، علمًا بأن العدد الظاهر فردي؟
توجد 6 نواتجَ ممكنة من إلقاء مكعب الأرقام مرةً واحدةً.
لتكن A الحادثة التي يكون فيها العدد الظاهر عددًا فرديًّا، ولتكن B الحادثة التي يظهر فيها العدد 3.
P(A) = 36 = 12 3 نواتج ذات عدد فردي من بين 6 نواتج
P(A ∩ B) = 16 واحد من النواتج الستة فردي ويُمثّل العدد 3
P(B | A) = P(A ∩ B)P(A) احتمال وقوع الحادثة B علمًا بأن الحادثة A قد وقعت
= 16 ÷ 12 = 13 P(A) = 12 ، P(A ∩ B) = 16
احتمال ظهور العدد 3 علمًا بأن العدد الظاهر فردي هو 13.
✓ تحقق من فهمك
(1) يحتوي كيس على 52 بطاقة مقسمة إلى أربع مجموعات لكل منها لون من الألوان الآتية: الأحمر والأخضر والأزرق والأصفر، ورقّمت بطاقات كل لون بالأعداد من 1 إلى 13. إذا سحبت نوال بطاقة، فما احتمال أن تحمل هذه البطاقة العدد 13 علمًا بأن ما سحبته كان العدد 11 أو 12 أو 13؟

الجداول التوافقية: الجداول التوافقية هي جداول تكرارية ذات بعدين، يتم فيها تسجيل بيانات ضمن خلايا، حيث إن كل خلية من خلايا الجدول تُمثّل تكرارًا يسمى تكرارًا نسبيًّا، إذ يكون منسوبًا إلى مجموع التكرارات في الجدول، أو منسوبًا إلى مجموع التكرارات في الصف الذي تقع فيه الخلية، أو منسوبًا إلى مجموع التكرارات في العمود الذي تقع فيه الخلية، ويمكن استعمال الجداول التوافقية في إيجاد الاحتمال المشروط.

مثال 2 — من واقع الحياة
الجداول التوافقية
مشي: أوجد احتمال أن يكون شخص اختير عشوائيًّا معافى، علمًا بأنه يمارس المشي.
الحالة يمارس المشي (W) لا يمارس المشي (Nw)
مريض (S) 1600 1200
معافى (H) 800 400
عدد الأشخاص الكلي في الدراسة 400 + 1200 + 800 + 1600 ويساوي 4000 شخص، ويراد إيجاد احتمال H علمًا بأن W قد وقع.
P(H | W) = P(H ∩ W)P(W) قانون الاحتمال المشروط
= 8004000 ÷ 24004000 P(H ∩ W) = 8004000 ، P(W) = 1600 + 8004000
= 8002400 = 13 بسّط
احتمال أن يكون الشخص معافى، بشرط أنه يمارس المشي هو 13.
💡 حل مختصر: يمكن اختصار الحل باستعمال الجدول وفضاء العينة المختصر: احتمال أن يكون الشخص معافى بشرط أنه يمارس المشي هو P(H | W) = 8002400 = 13 — أي مباشرة من عمود ممارسي المشي.
✓ تحقق من فهمك
(2) أوجد احتمال أن يكون شخص اختير عشوائيًّا معافى، علمًا بأنه لا يمارس المشي.

يمكن استعمال الجداول التوافقية لتمثيل أي عدد من الحالات الممكنة.

مثال 3 — على اختبار
الاحتمال المشروط من جدول توافقي
يوضّح الجدول أدناه عدد الطلاب الجامعيين الذين يمارسون الرياضة بشكل منتظم، إذا اختير طالب عشوائيًّا، فأوجد احتمال أن يكون الطالب من ضمن المنتخب الجامعي، علمًا بأنه في السنة الثالثة.
الرياضيون الجامعيون سنة أولى سنة ثانية سنة ثالثة سنة رابعة
ضمن المنتخب الجامعي (K) 7 22 36 51
ليس ضمن المنتخب الجامعي (S) 269 262 276 257
A 11.5% تقريبًا    B 16.6% تقريبًا    C 13.0% تقريبًا    D 19.8% تقريبًا
اقرأ فقرة الاختبار: تريد معرفة احتمال أن يكون الطالب من ضمن المنتخب الجامعي (K) علمًا بأنه في السنة الثالثة (T). مجموع الطلاب هو 1180 طالبًا.
حُلّ فقرة الاختبار:
P(K | T) = P(K ∩ T)P(T) قانون الاحتمال المشروط
= 361180 ÷ 3121180 P(K ∩ T) = 361180 ، P(T) = 36 + 2761180
≈ 0.115 ≈ 11.5%
الجواب الصحيح A.
💡 كتابة الاحتمال: تذكر أن الاحتمال يُعبَّر عنه بكسر اعتيادي أو بكسر عشري أو بنسبة مئوية.
✓ تحقق من فهمك
(3) أوجد احتمال أن يكون الطالب من ضمن المنتخب الجامعي، علمًا بأنه في السنة الأولى.
A 2.6% تقريبًا    B 2.5% تقريبًا    C 8.4% تقريبًا    D 7.7% تقريبًا
1️⃣ الاحتمال المشروط: P(B | A) = P(A ∩ B)P(A) بشرط P(A) ≠ 0
2️⃣ المعلومة «علمًا بأن A وقعت» تُصغِّر فضاء العينة إلى نواتج A فقط، ثم نحسب حظ B داخله
3️⃣ حدّد دائمًا الحادثتين A (الشرط) و B (المطلوب) قبل التعويض في القانون
4️⃣ في الجدول التوافقي: الاحتمال المشروط = خلية التقاطع ÷ مجموع صف الشرط أو عموده — دون الحاجة للمجموع الكلي

جرّب بنفسك

اختبار الدرس

الاحتمال المشروط

1 / 8
إذا كانت A , B حادثتين غير مستقلتين، فما قانون الاحتمال المشروط P(B | A)؟
الاحتمال المشروط – رياضيات ثالث ثانوي الفصل الثاني | أكاديمية موسى