درس 26

القانون التجريبي لوصف المساحات تحت المنحنى الطبيعي

القانون التجريبي: إن المساحة بين قيمتين من البيانات تمثِّل نسبة البيانات التي تقع بين هاتين القيمتين. ويمكن أن يستعمل القانون التجريبي لوصف المساحات تحت المنحنى الطبيعي، والتي تقع ضمن انحراف أو انحرافين أو ثلاثة انحرافات معيارية من المتوسط.

مفهوم أساسي
القانون التجريبي
يتصف التوزيع الطبيعي الذي متوسطه μ وانحرافه المعياري σ بالخصائص الآتية:
0.5%2%13.5%34%34%13.5%2%0.5%
يكون للمنحنى أكبر قيمة عند المتوسط، ويتساوى فيه المتوسط والوسيط والمنوال
  • يقع 68% تقريبًا من البيانات ضمن الفترة (μ − σ , μ + σ) — وهذا يعني أن 68% من البيانات لا يتجاوز بعدها عن المتوسط قيمة الانحراف المعياري.
  • يقع 95% تقريبًا من البيانات ضمن الفترة (μ − 2σ , μ + 2σ) — وهذا يعني أن الغالبية العظمى من البيانات (95%) لا يتجاوز بعدها عن المتوسط ضعف قيمة الانحراف المعياري.
  • يقع 99% تقريبًا من البيانات ضمن الفترة (μ − 3σ , μ + 3σ) — وهذا يعني أن جميع البيانات تقريبًا (99%) لا يتجاوز بعدها عن المتوسط ثلاثة أمثال الانحراف المعياري.
مثال 2
التوزيع الطبيعي
المتوسط لتوزيع طبيعي 34، وانحرافه المعياري 5. أوجد احتمال أن تزيد قيمة لـ X تم اختيارها عشوائيًّا في هذا التوزيع عن 24، (أي أوجد P(X > 24)).  μ = 34 , σ = 5
الخطوة 1: أوجد القيم μ ± σ , μ ± 2σ , μ ± 3σ (وهي المتوسط مضافًا إليه أو مطروحًا منه المضاعفات الثلاثة الأولى للانحراف المعياري):
μ ± σ = 34 ± 5 = 29 , 39
μ ± 2σ = 34 ± 10 = 24 , 44
μ ± 3σ = 34 ± 15 = 19 , 49
الخطوة 2: ارسم منحنى التوزيع الطبيعي، وحدِّد عليه المتوسط μ = 34 والقيم السابقة.
الخطوة 3: ظلل المنطقة التي تمثل الاحتمال المطلوب.
0.5%2%13.5%34%34%13.5%2%0.5%19242934394449
الخطوة 4: احسب الاحتمال المطلوب:
P(X > 24) = (13.5 + 34 + 34 + 13.5 + 2 + 0.5)% = 97.5%
إذن: P(X > 24) ≈ 97.5%
💡 التوزيع الطبيعي: في الحالات جميعها يجب أن يكون عدد البيانات كبيرًا ليكون التوزيع طبيعيًّا تقريبًا.
✓ تحقق من فهمك
(2) أوجد احتمال أن تكون قيمة تم اختيارها عشوائيًّا في التوزيع الوارد في المثال 2 أقل من 49.

تُمَثَّل العينة التي يكون توزيعها توزيعًا طبيعيًّا بمنحنى طبيعي، وكأنها مجتمعًا.

مثال 3 — من واقع الحياة
عينة موزَّعة توزيعًا طبيعيًّا
أطوال: توزّع أطوال 1800 يافع توزيعًا طبيعيًّا بمتوسط 66 in، وانحراف معياري يساوي 2 in.
(a) ما العدد التقريبي لليافعين الذين تتراوح أطوالهم بين 62 in و 70 in؟
0.5%2%13.5%34%34%13.5%2%0.5%60626466687072
ارسم منحنى التوزيع الطبيعي. تبعد كل من 70 , 62 عن المتوسط الحسابي انحرافين معياريين؛ لذا فإن 95% من البيانات واقعة بين الطولين 70 , 62. ولأن 95% × 1800 = 1710، لذا يوجد 1710 يافعين تقريبًا تقع أطوالهم بين 62 in و 70 in.
(b) ما احتمال أنْ يتم اختيار أحد اليافعين عشوائيًّا، بحيث يزيد طوله على 68 in؟
0.5%2%13.5%34%34%13.5%2%0.5%60626466687072
من الشكل، القيمة الأكبر من 68 تبعد أكثر من انحراف معياري واحد عن المتوسط الحسابي، وتتوزَّع الأطوال على النحو الآتي: 13.5% بين انحراف معياري واحد وانحرافين معياريين، و2% بين انحرافين معياريين وثلاثة انحرافات معيارية، و0.5% فوق 3 انحرافات معيارية. لذا فاحتمال اختيار يافع يكون طوله أكبر من 68 in:
(13.5 + 2 + 0.5)% = 16%
إذن الاحتمال المطلوب يساوي 16% تقريبًا.
✓ تحقق من فهمك
(3) درجات: إذا علمت أن كتل 100 موظف في شركة تتوزَّع توزيعًا طبيعيًّا بمتوسط حسابي مقداره 70 كيلوجرامًا، وانحراف معياري 10 كيلوجرامات، فاعتمد على ذلك في الإجابة عن السؤالين الآتيين:
(3A) ما العدد التقريبي للموظفين الذين تتراوح كتلهم بين 60 و80 كيلوجرامًا؟
(3B) ما احتمال أن يتم اختيار موظف عشوائيًّا تزيد كتلته على 90 كيلوجرامًا؟
1️⃣ القانون التجريبي: 68% ضمن μ ± σ ، و95% ضمن μ ± 2σ ، و99% ضمن μ ± 3σ
2️⃣ أربع خطوات: أوجد قيم μ ± kσ ← ارسم المنحنى ← ظلل المنطقة المطلوبة ← اجمع نسب الأجزاء المظللة (0.5 ، 2 ، 13.5 ، 34 ، 34 ، 13.5 ، 2 ، 0.5)%
3️⃣ لإيجاد عدد من العينة اضرب النسبة في حجم العينة

جرّب بنفسك

اختبار الدرس

القانون التجريبي والتوزيع الطبيعي

1 / 6
بحسب القانون التجريبي، ما نسبة البيانات التي تقع تقريبًا ضمن الفترة (μ − σ , μ + σ)؟