درس 21

قانونا الانحراف المعياري

مقاييس التشتت: تصف مقاييس التشتت مقدار تباعد البيانات أو تقاربها، ومن أشهر مقاييس التشتت التباين والانحراف المعياري. ويصف هذان المقياسان مدى بعد مجموعة البيانات عن المتوسط أو قربها منه.

يُمثِّل الرمز x̄ المتوسط للعينة ويُقرأ «x بار»، ويمثِّل الرمز μ المتوسط للمجتمع ويُقرأ «ميو». ويحسب كل من المتوسط للعينة والمتوسط للمجتمع بالطريقة ذاتها، أمّا طريقة حساب الانحراف المعياري لكل من بيانات العينة وبيانات المجتمع، فتختلف. وفيما يأتي توضيح لطريقة حساب كل من الانحراف المعياري للعينة (ويُرمز له بالرمز s)، والانحراف المعياري للمجتمع (ويرمز له بالرمز σ ويقرأ «سيجما»).

مفهوم أساسي

العينة

s = √nΣk = 1 (x_k − x̄)²n − 1

حيث n عدد قيم العينة وَ x̄ المتوسط الحسابي للعينة وَ x_k قيم العينة.

المجتمع

σ = √nΣk = 1 (x_k − μ)²n

حيث n عدد قيم المجتمع وَ μ المتوسط الحسابي للمجتمع وَ x_k قيم المجتمع.

مثال 3 — من واقع الحياة

الانحراف المعياري

درجات اختبار: حصل طلاب المعلم صالح في اختبارين متتاليين على المتوسط نفسه في اختبار الرياضيات وهو 75. إذا علمت أن درجات الاختبارين كما يأتي:

الاختبار A

85, 80, 75, 75, 70, 75, 75, 65, 75,
75, 75, 80, 75, 75, 70, 80, 70, 75,
75, 75, 75, 75, 75

الاختبار B

100, 100, 90, 10, 100, 95, 10, 95,
100, 100, 85, 15, 95, 20, 95, 90, 100,
100, 90, 10, 100, 100, 25

(a) بيِّن ما إذا كانت هذه البيانات تمثل عينة أم مجتمعًا، ثم أوجد الانحراف المعياري لدرجات الاختبار A.

الخطوة 1: بما أن المتوسط 75 للاختبار كاملًا، فهو يمثل متوسط المجتمع. ومن هنا فإن: μ = 75.

💡 المتوسط للمجتمع: عندما يكون المتوسط للمجتمع μ معلومًا، يمكنه أن يحلَّ مكان المتوسط للعينة x̄.

الخطوة 2: أوجد الانحراف المعياري.

σ = √nΣk = 1 (x_k − μ)²n قانون الانحراف المعياري
= √(85 − 75)² + (80 − 75)² + … + (75 − 75)² + (75 − 75)²23 عوّض القيم و n = 23
≈ 3.9 بسّط مستعملًا الآلة الحاسبة

المتوسط لدرجات الاختبار A يساوي 75، والانحراف المعياري يساوي تقريبًا 3.9 — أي إن الدرجات متقاربة جدًّا حول المتوسط.

✓ تحقق من فهمك

31	33	33	34	28
31	36	34	29	33
36	28	32	29	30
28	28	29	33	29
29	27	28	31	26

(3A) احسب المتوسط والانحراف المعياري للمجتمع للبيانات المحدّدة في الجدول المجاور.

(3B) ضع 70 مكان 30 في الجدول المجاور. ماذا تتوقع أن يحدث لكلٍّ من المتوسط والانحراف المعياري؟ أعد الحسابات للتحقّق.

(3C) اختير (5) طلاب عشوائيًّا من فصل دراسي، وقيست أطوالهم فكانت: 175 سم، 170 سم، 168 سم، 167 سم، 170 سم. بيِّن ما إذا كانت هذه البيانات تمثِّل عينة أم مجتمعًا، ثم أوجد الانحراف المعياري لأطوال هؤلاء الطلاب.

1️⃣ المجتمع: اقسم مجموع مربعات الانحرافات على n واستعمل μ ، والعينة: اقسم على n − 1 واستعمل x̄

2️⃣ متوسطان متساويان لا يعنيان بيانات متشابهة — انحراف معياري صغير يعني درجات متقاربة حول المتوسط، وكبير يعني تشتتًا واسعًا

3️⃣ بيانات الفصل كاملًا مجتمع، وبيانات المختارين عشوائيًّا منه عينة

جرّب بنفسك

اختبار الدرس

التحليل الإحصائي — الانحراف المعياري

1 / 6

ما الفرق بين قانون الانحراف المعياري للمجتمع σ وقانونه للعينة s؟