الحدّ النوني في المتتابعة الحسابية

يمكنك استعمال الصيغة الآتية لإيجاد قيمة أي حد من حدود المتتابعة الحسابية، وذلك بمعرفة الحد الأول والأساس.

مفهوم أساسي

تستعمل الصيغة الآتية للتعبير عن الحدّ النوني في متتابعة حسابية حدّها الأول a₁، وأساسها d، حيث n عدد طبيعي:

aₙ = a₁ + (n − 1)d

مثال 1

إيجاد حدّ معيَّن في متتابعة حسابية

أوجد قيمة الحدّ الثاني عشر في المتتابعة الحسابية: 9, 16, 23, 30, …

الخطوة 1: أوجد أساس المتتابعة: الفرق بين أيّ حدّين متتاليين 16 − 9 = 7 إذن d = 7.

الخطوة 2: أوجد قيمة الحدّ الثاني عشر:

aₙ = a₁ + (n − 1)d الحدّ النوني في المتتابعة الحسابية
a₁₂ = 9 + (12 − 1)(7) a₁ = 9 ، d = 7 ، n = 12
= 9 + 77 = 86 بسّط

المتسلسلات الحسابية: يمكنك الحصول على المتسلسلة بوضع إشارة الجمع (+) بين حدود المتتابعة؛ لذا فالمتسلسلة الحسابية هي مجموع حدود متتابعة حسابية. ويُسمّى ناتج جمع الحدود n الأولى من المتسلسلة المجموع الجزئي، ويُرمز له بالرمز Sₙ.

مفهوم أساسي

المجموع الجزئي في متسلسلة حسابية

القانون (المعادلة)	المعطيات	مجموع أول n حدًّا (Sₙ) هو:
بالصيغة العامة	a₁ , aₙ , n	Sₙ = n2 (a₁ + aₙ)
بالصيغة البديلة	a₁ , d , n	Sₙ = n2 [2a₁ + (n − 1)d]

في بعض الأحيان، لابد من إيجاد إحدى القيم a₁, aₙ, n قبل إيجاد مجموع المتسلسلة الحسابية. وفي هذه الحالة استعمل صيغة الحدّ النوني.

مثال 4

استعمال صيغ المجموع

أوجد مجموع حدود المتسلسلة الحسابية 12 + 19 + 26 + … + 180

الخطوة 1: a₁ = 12 , aₙ = 180 , d = 19 − 12 = 7 — يجب إيجاد قيمة n أولًا كي نجد المجموع:

aₙ = a₁ + (n − 1)d الحدّ النوني في المتتابعة الحسابية
180 = 12 + (n − 1)(7) aₙ = 180 ، a₁ = 12 ، d = 7
168 = 7n − 7 استعمل خاصية التوزيع، ثم بسّط
25 = n حُلَّ المعادلة

الخطوة 2: استعمل إحدى الصيغتين لحساب Sₙ:

Sₙ = n2 [2a₁ + (n − 1)d] صيغة المجموع
S₂₅ = 252 [2(12) + (25 − 1)(7)] n = 25 ، a₁ = 12 ، d = 7
S₂₅ = 12.5(192) = 2400 بسّط

مثال 5

إيجاد الحدود الثلاثة الأولى لمتتابعة حسابية

أوجد الحدود الثلاثة الأولى لمتتابعة حسابية فيها a₁ = 7, aₙ = 79, Sₙ = 430

الخطوة 1: أوجد قيمة n:

Sₙ = n2 (a₁ + aₙ) صيغة المجموع
430 = n2 (7 + 79) = n2 (86) = n(43) اجمع ثم بسّط
10 = n اقسم طرفَي المعادلة على 43

الخطوة 2: أوجد قيمة d:

79 = 7 + (10 − 1)d aₙ = 79 ، a₁ = 7 ، n = 10
72 = 9d ⟹ d = 8 اطرح 7 ثم اقسم على 9

الخطوة 3: الحدود الثلاثة الأولى: 7 , 7 + 8 = 15 , 15 + 8 = 23 ← 7, 15, 23

1️⃣ الحد النوني: aₙ = a₁ + (n − 1)d

2️⃣ المجموع الجزئي: Sₙ = n/2 (a₁ + aₙ) إذا عرفت الطرفين، أو Sₙ = n/2 [2a₁ + (n − 1)d] إذا عرفت الأساس

3️⃣ إن نقصتك قيمة (n مثلًا) أوجدها أولًا من صيغة الحد النوني ثم احسب المجموع

الحد النوني والمتسلسلات الحسابية