المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لكثيرات الحدود – رياضيات ثاني ثانوي الفصل الثاني

المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لكثيرات الحدود: تمامًا كما في الأعداد النسبية التي على الصورة الكسرية، فعند جمع عبارتين نسبيتين بمقامين مختلفين أو طرحهما، يجب أن تجد أولًا المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للمقامين. ولإيجاد LCM لعددين أو لكثيرتي حدود أو أكثر: حلّل كلًّا منها إلى عواملها الأولية أولًا، ثم اضرب جميع العوامل التي لها الأس الأكبر.

الأعداد

56 + 49
6 = 2 · 3
9 = 3 · 3
LCM = 2 · 3 · 3 = 18

كثيرات الحدود

3x² − 3x + 2 + 52x² − 2
x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2)
2x² − 2 = 2(x − 1)(x + 1)
LCM = 2(x − 1)(x − 2)(x + 1)

مثال 1

LCM لوحيدات الحد وكثيرات الحدود

(a) أوجد LCM لـ: 6xy , 15x² , 9xy⁴

6xy = 2 · 3 · x · y حلِّل
15x² = 3 · 5 · x² حلِّل
9xy⁴ = 3 · 3 · x · y⁴ حلِّل
LCM = 2 · 3 · 3 · 5 · x² · y⁴ = 90x²y⁴ اضرب قوى العوامل التي لها الأس الأكبر وبسّط

(b) أوجد LCM لـ: y⁴ + 8y³ + 15y² , y² − 3y − 40

y⁴ + 8y³ + 15y² = y²(y + 5)(y + 3) حلِّل (ابدأ بالعامل المشترك y²)
y² − 3y − 40 = (y + 5)(y − 8) حلِّل
LCM = y²(y + 5)(y + 3)(y − 8) اضرب قوى العوامل التي لها الأس الأكبر

💡 العامل المشترك (y + 5) يؤخذ مرة واحدة فقط (بأسّه الأكبر) — لا مرتين.

1️⃣ الخطوة الأولى: حلّل كل عدد أو كثيرة حدود إلى عواملها الأولية

2️⃣ الخطوة الثانية: اضرب جميع العوامل المختلفة، وخذ كل عامل مشترك بأسّه الأكبر مرة واحدة

3️⃣ الاستعمال: LCM للمقامين هو المقام الموحّد عند جمع العبارات النسبية وطرحها