درس 1

تبسيط العبارات النسبية

تبسيط العبارات النسبية: تُسمى النسبة بين كثيرتي حدود، مثل 1700/(d − 33)، عبارة نسبية. وكما في تبسيط الكسور، فإنه عند تبسيط العبارات النسبية يتم قسمة كلٍّ من البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر (GCF) لهما.

812 = 2 · ¹43 · ¹4 = 23

GCF = 4

x² − 4x + 3x² − 6x + 5 = (x − 3)¹(x − 1)(x − 5)¹(x − 1) = x − 3x − 5

GCF = x − 1

💡 حيل التحليل

كيف تحلّل البسط والمقام إلى عوامل؟

1️⃣ ابدأ دائمًا بالعامل المشترك الأكبر

اسأل أولاً: هل تشترك جميع الحدود في عدد أو متغير؟ إن وُجد فأخرِجه قبل أي شيء آخر.

5x² + 10x = 5x(x + 2) | 4y² − 12y = 4y(y − 3)

2️⃣ تحليل x² + bx + c: ابحث عن عددين

عددان حاصل ضربهما c ومجموعهما b:

x² + 4x + 3 : (3)(1) = 3 , 3 + 1 = 4 → (x + 3)(x + 1)
x² − 4x + 3 : (−3)(−1) = 3 , −3 − 1 = −4 → (x − 3)(x − 1)

دليل الإشارات: c موجب → العددان بإشارة واحدة (إشارة b)؛ c سالب → العددان مختلفا الإشارة.

3️⃣ فرق المربعين: a² − b² = (a + b)(a − b)

حدّان فقط بينهما طرح وكلاهما مربع كامل؟ هذا فرق مربعين.

x² − 9 = (x + 3)(x − 3) | 4z² − 25 = (2z + 5)(2z − 5)

4️⃣ تحقّق دائمًا بإعادة الضرب

وزّع الناتج (أ خ و ط) فإن عاد إلى العبارة الأصلية فتحليلك صحيح. وتذكّر: يُختصر العامل الكامل بين قوسين، ولا تُحذف حدود منفردة أبدًا — (x + 3)/(x + 5) ≠ 3/5!

مثال 1

تبسيط عبارة نسبية

بسّط العبارة: 5x(x² + 4x + 3)(x − 6)(x² − 9)

5x(x² + 4x + 3)(x − 6)(x² − 9) = 5x(x + 3)(x + 1)(x − 6)(x + 3)(x − 3) حلّل كلًّا من البسط والمقام إلى عوامل
= 5x(x + 1)(x − 6)(x − 3) · ¹(x + 3)¹(x + 3) اختصر العوامل المشتركة
= 5x(x + 1)(x − 6)(x − 3) بسّط

مثال 2 على اختبار

القيم التي تجعل العبارة غير معرَّفة

تكون العبارة النسبية غير معرَّفة عند قيم المتغيِّر التي تجعل مقامها صفرًا. ولإيجاد هذه القيم استعمل العبارة المعطاة قبل تبسيطها.

ما قيم x التي تجعل العبارة x²(x² − 5x − 14)4x(x² + 6x + 8) غير معرَّفة؟

A) −2, −4 B) −2, 7 C) 0, −2, −4 D) 0, −4, 7

اقرأ فقرة الاختبار:

نريد إيجاد قيم x التي تجعل المقام صفرًا.

حلّ فقرة الاختبار:

إحدى القيم التي تجعل المقام 4x(x² + 6x + 8) يساوي صفرًا هي x = 0؛ لذا يمكن حذف البديلين A و B إرشاد: اختصر الوقت بحذف البدائل غير المنطقية.
حلّل المقام إلى عوامل: x² + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)، إذن المقام يساوي 4x(x + 2)(x + 4).
المقام يساوي صفرًا عندما x = 0 أو x = −2 أو x = −4، فالإجابة الصحيحة هي C.

1️⃣ العبارة النسبية = نسبة بين كثيرتي حدود (كسر جبري)

2️⃣ التبسيط: حلّل البسط والمقام إلى عوامل، ثم اقسم كليهما على القاسم المشترك الأكبر (GCF)

3️⃣ يُختصر العامل المشترك بأكمله (مثل x + 3) — ولا يجوز اختصار حدود منفردة من داخل العوامل

4️⃣ العبارة غير معرَّفة عندما يكون المقام = 0 — أوجد هذه القيم من العبارة الأصلية قبل التبسيط

اختبار الدرس

1

لتبسيط عبارة نسبية، نقسم البسط والمقام على:

2

بسّط: 1824

اكتب الكسر في أبسط صورة.

3

بسّط: x² − 4x + 3x² − 6x + 5

حلّل ثم اختصر.

4

بسّط: 5x(x² + 4x + 3)(x − 6)(x² − 9)

حلّل ثم اختصر.

5

بسّط: 4y(y − 3)(y + 4)y(y² − y − 6)

حلّل ثم اختصر.

6

بسّط: 2z(z + 5)(z² + 2z − 8)(z − 1)(z + 5)(z − 2)

حلّل ثم اختصر.

7

ما قيم x التي تجعل العبارة x²(x² − 5x − 14)4x(x² + 6x + 8) غير معرَّفة؟

8

ما قيم x التي تجعل العبارة x(x² + 8x + 12)−6(x² − 3x − 10) غير معرَّفة؟