درس 3

تدرب وحل المسائل — حلول تبسيط العبارات النسبية

تدرب وحل المسائل — حلول تبسيط العبارات النسبية

في كل مسألة: حلّل البسط والمقام إلى عوامل، ثم اختصر العوامل المشتركة (المشطوبة بالأحمر)، ثم بسّط. وفي القسمة اضرب في مقلوب المقسوم عليه أولاً.

بسّط كل عبارة مما يأتي (13 − 16)

13
x(x − 3)(x + 6)x² + x − 12
= x1(x − 3)(x + 6)(x + 4)1(x − 3)
= x(x + 6)x + 4
حلّل المقام: عددان جداؤهما −12 ومجموعهما +1 هما +4 و −3.
14
y²(y² + 3y + 2)2y(y − 4)(y + 2)
= y · 1y · (y + 1)1(y + 2)21y(y − 4)1(y + 2)
= y(y + 1)2(y − 4)
حلّل البسط: y² + 3y + 2 = (y + 1)(y + 2)، ثم اختصر y واحدة و (y + 2).
15
(x² − 9)(x² − z²)4(x + z)(x − 3)
= (x + 3)1(x − 3)1(x + z)(x − z)41(x + z)1(x − 3)
= (x + 3)(x − z)4
فرقا مربعين: x² − 9 = (x + 3)(x − 3) و x² − z² = (x + z)(x − z).
16
(x² − 16x + 64)(x + 2)(x² − 64)(x² − 6x − 16)
= 1(x − 8)1(x − 8)1(x + 2)1(x − 8)(x + 8)1(x − 8)1(x + 2)
= 1x + 8
x² − 16x + 64 = (x − 8)² مربع كامل، x² − 64 فرق مربعين، x² − 6x − 16 = (x − 8)(x + 2).

اختيار من متعدد (17)

17
(x − 3)(x + 6)(x² − 7x + 12)(x² − 36) — حدِّد قيم x التي تجعل العبارة غير معرَّفة
المقام = (x − 3)(x − 4)(x − 6)(x + 6) = 0
x = 3 ، x = 4 ، x = 6 ، x = −6
الإجابة D) ‎−6, 3, 4, 6
العبارة غير معرَّفة عندما يكون المقام صفرًا — استعمل العبارة الأصلية قبل التبسيط. حلّل: x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4) و x² − 36 = (x − 6)(x + 6).

بسّط كل عبارة مما يأتي (18 − 31)

18
x² − 5x − 1428 + 3x − x²
= 1(x − 7)(x + 2)−1(x − 7)(x + 4)
= −(x + 2)x + 4
أعد ترتيب المقام: 28 + 3x − x² = −(x² − 3x − 28) = −(x − 7)(x + 4) — أخرج الإشارة السالبة أولاً.
19
x³ − 9x²x² − 3x − 54
= x²1(x − 9)1(x − 9)(x + 6)
= x²x + 6
ابدأ بالعامل المشترك في البسط: x³ − 9x² = x²(x − 9).
20
16 − c²c² + c − 20
= −1(c − 4)(c + 4)(c + 5)1(c − 4)
= −(c + 4)c + 5
16 − c² = (4 − c)(4 + c) = −(c − 4)(c + 4) — قلب الفرق يُخرج إشارة سالبة.
21
3 − 3yy³ − 1
= −31(y − 1)1(y − 1)(y² + y + 1)
= −3y² + y + 1
فرق مكعبين: y³ − 1 = (y − 1)(y² + y + 1)، و 3 − 3y = 3(1 − y) = −3(y − 1).
22
3ac³f³8a²bcf⁴ · 12ab²c18ab³c²f
= (3 × 128 × 18) · a2−3 · b2−4 · c4−3 · f3−5
= 14 · a⁻¹ · b⁻² · c · f⁻²
= c4ab²f²
جمّع الأعداد ثم اطرح الأسس؛ الأسس السالبة تنتقل إلى المقام.
23
14xy²z³21w⁴x²yz · 7wxyz12w²y³z
= (14 × 721 × 12) · w1−6 · x2−2 · y3−4 · z4−2
= 718 · w⁻⁵ · 1 · y⁻¹ · z²
= 7z²18w⁵y
24
64a²b⁵35b²c³f⁴ ÷ 12a⁴b³c70abcf²
= 64a²b⁵35b²c³f⁴ · 70abcf²12a⁴b³c
= (64 × 7035 × 12) · a3−4 · b6−5 · c1−4 · f2−4
= 32b3ac³f²
اقلب الكسر الثاني أولاً: 4480/420 = 32/3.
25
9x²yz5z⁴ ÷ 12x⁴y²50xy⁴z²
= 9x²yz5z⁴ · 50xy⁴z²12x⁴y²
= (9 × 505 × 12) · x3−4 · y5−2 · z3−4
= 15y³2xz
26
y² + 8y + 15y − 6 · y² − 9y + 18y² − 9
= 1(y + 3)(y + 5)1(y − 6) · 1(y − 3)1(y − 6)1(y + 3)1(y − 3)
= y + 5
كل العوامل تُختصر إلا (y + 5) — الناتج كثيرة حدود وليس كسرًا.
27
c² − 6c − 16c² − d² ÷ c² − 8cc + d
= 1(c − 8)(c + 2)1(c + d)(c − d) · 1(c + d)c1(c − 8)
= c + 2c(c − d)
اقلب واضرب؛ حلّل: c² − 8c = c(c − 8) و c² − d² = (c + d)(c − d).
28
x² − 96x − 12x² + 10x + 21x² − x − 2
= x² − 96x − 12 · x² − x − 2x² + 10x + 21
= 1(x + 3)(x − 3)61(x − 2) · (x + 1)1(x − 2)(x + 7)1(x + 3)
= (x − 3)(x + 1)6(x + 7)
الكسر المركّب = قسمة: اضرب البسط في مقلوب المقام.
29
y − xz³x − y6z²
= y − xz³ · 6z²x − y
= −1(x − y) · 61z²z1z² · 1(x − y)
= −6z
y − x = −(x − y) فيختصر العاملان ويبقى −1.
30
a² − b²b³b² − aba²
= a² − b²b³ · a²b² − ab
= (a + b)1(a − b) · a²b³ · b · (−1)1(a − b)
= −a²(a + b)b⁴
b² − ab = b(b − a) = −b(a − b).

بسّط كل عبارة مما يأتي (44 − 46)

31
x − ya + bx² − y²b² − a²
= x − ya + b · b² − a²x² − y²
= 1(x − y)(b − a)1(b + a)1(a + b)(x + y)1(x − y)
= b − ax + y
b² − a² = (b − a)(b + a)، و (b + a) هو نفسه (a + b) فيُختصران.
44
x² + 4x − 322x² + 9x − 5 · 3x² − 753x² − 11x − 4 ÷ 6x² − 18x − 60x³ − 4x
= (x + 8)1(x − 4)(2x − 1)1(x + 5) · 131(x − 5)1(x + 5)(3x + 1)1(x − 4) · x(x − 2)1(x + 2)161(x − 5)1(x + 2)
= x(x + 8)(x − 2)2(2x − 1)(3x + 1)
اقلب الكسر الأخير (المقسوم عليه) أولاً. التحليلات: x³ − 4x = x(x − 2)(x + 2) ، 3x² − 75 = 3(x − 5)(x + 5) ، 6x² − 18x − 60 = 6(x − 5)(x + 2).
45
8x² + 10x − 33x² − 12x − 36 ÷ 2x² − 5x − 123x² − 17x − 6 · 4x² + 3x − 14x² − 40x + 24
= (4x − 1)1(2x + 3)31(x − 6)(x + 2) · (3x + 1)1(x − 6)1(2x + 3)(x − 4) · (4x − 1)(x + 1)4(x² − 10x + 6)
= (4x − 1)²(3x + 1)(x + 1)12(x + 2)(x − 4)(x² − 10x + 6)
التحليلات: 8x² + 10x − 3 = (4x − 1)(2x + 3) ، 3x² − 17x − 6 = (3x + 1)(x − 6) ، 4x² + 3x − 1 = (4x − 1)(x + 1). لاحظ أن x² − 10x + 6 لا يتحلل إلى عوامل نسبية (مميزه ليس مربعًا كاملاً) فيبقى كما هو.
1️⃣ ابدأ دائمًا بالعامل المشترك، ثم جرّب: عددين جداؤهما c ومجموعهما b، أو فرق المربعين، أو المربع الكامل
2️⃣ احترس من الإشارة: b − a = −(a − b) — قلبُ الفرق يُخرج إشارة سالبة (مسائل 18، 20، 21، 29، 30)
3️⃣ في القسمة والكسور المركّبة: اضرب في المقلوب أولاً ثم حلّل واختصر

أحسنت! الدرس التالي

جمع العبارات النسبية وطرحها

تدرب وحل المسائل — حلول تبسيط العبارات النسبية – رياضيات ثاني ثانوي الفصل الثاني | أكاديمية موسى