درس 2

ضرب العبارات النسبية وقسمتها

العبارة النسبية هي كسر بسطه ومقامه عبارتان جبريتان. وضربُ العبارات النسبية وقسمتُها يتبعان نفس قواعد ضرب الكسور العادية وقسمتها.

مفهوم أساسي
ضرب العبارات النسبية
التعبير اللفظي: لضرب عبارتين نسبيتين، اضرب البسط في البسط والمقام في المقام.
الرموز: إذا كانت ab و cd عبارتين نسبيتين، حيث b ≠ 0, d ≠ 0، فإنّ
ab · cd = acbd
مثال:
29 · 154 = 12 · 13 · 513 · 3 · 12 · 2 = 53 · 2 = 56
مفهوم أساسي
قسمة العبارات النسبية
التعبير اللفظي: لقسمة عبارة نسبية على أخرى، اضرب المقسوم في مقلوب المقسوم عليه.
الرموز: إذا كانت ab و cd عبارتين نسبيتين، حيث b ≠ 0, c ≠ 0, d ≠ 0، فإنّ
ab ÷ cd = ab · dc = adbc
مثال:
35 ÷ 635 = 35 · 356 = 13 · 15 · 715 · 2 · 13 = 72
مثال 4
ضرب عبارات نسبية وقسمتها
(a) بسّط: 6c5d · 15cd²8a
= 2 · 3 · c · 5 · 3 · c · d · d5 · d · 2 · 2 · 2 · a حلّل إلى عوامل
= 12 · 3 · c · 15 · 3 · c · 1d · d15 · 1d · 12 · 2 · 2 · a اختصر العوامل المشتركة
= 3 · 3 · c · c · d2 · 2 · a = 9c²d4a بسّط
(b) بسّط: 18xy³7a²b² ÷ 12x²y35a²b
= 18xy³7a²b² · 35a²b12x²y اضرب المقسوم في مقلوب المقسوم عليه
= (18 × 357 × 12) · (xx²) · (y³y) · (a²a²) · (bb²) جمّع العوامل
= 152 · x1−2 · y3−1 · a2−2 · b1−2 = 152 · x−1 · y² · a0 · b−1 استعمل قوانين الأسس واختصر
= 15y²2xb تعريف الأسس السالبة ثم بسّط
مثال 5
عبارات نسبية تتضمن كثيرات حدود في كلٍّ من بسطها ومقامها

في بعض الأحيان عليك أن تحلّل البسط أو المقام أو كليهما قبل تبسيط ناتج ضرب عبارات نسبية أو قسمتها.

بسّط: x² − 6x − 16x² − 16x + 64 · x − 8x² + 5x + 6
= (x − 8)(x + 2)(x − 8)(x − 8) · x − 8(x + 3)(x + 2) حلّل إلى عوامل
= 1(x − 8)1(x + 2)1(x − 8)1(x − 8) · 1x − 8(x + 3)1(x + 2) اختصر العوامل المشتركة
= 1x + 3 بسّط
📘 إرشاد للدراسة: عند تبسيط عبارات نسبية قد تظهر عوامل إحدى كثيرتي الحدود في كثيرة الحدود الأخرى، ويتم اختصارها كما في هذا المثال.
1️⃣ الضرب: بسط × بسط ومقام × مقام — (a/b) · (c/d) = ac/bd
2️⃣ القسمة: اضرب في مقلوب المقسوم عليه — (a/b) ÷ (c/d) = ad/bc
3️⃣ الاختصار: حلّل البسط والمقام إلى عواملهما الأولية واختصر العوامل المشتركة قبل الضرب

جرّب بنفسك

اختبار الدرس

1
لضرب عبارتين نسبيتين، فإننا:
2
23 · 57 = ؟
أوجد ناتج الضرب في أبسط صورة.
3
29 · 154 = ؟
أوجد ناتج الضرب في أبسط صورة.
4
لقسمة عبارة نسبية على أخرى (a/b) ÷ (c/d)، فإن الناتج يساوي:
5
35 ÷ 635 = ؟
أوجد ناتج القسمة في أبسط صورة.
6
3x4 · 89x = ؟
أوجد ناتج الضرب في أبسط صورة، حيث x ≠ 0.
7
بسّط: 6c5d · 15cd²8a
8
بسّط: 16mt²21a⁴b³ ÷ 24m³7a²b²
9
بسّط: x² − 6x − 16x² − 16x + 64 · x − 8x² + 5x + 6
ضرب العبارات النسبية وقسمتها – رياضيات ثاني ثانوي الفصل الثاني | أكاديمية موسى