مبدأ الاستقراء الرياضيّ: مبدأ الاستقراء الرياضيّ هو أسلوب لبرهنة الجمل الرياضية المتعلِّقة بالأعداد الطبيعية.
مفهوم أساسي
مبدأ الاستقراء الرياضيّ
لبرهنة أن جملة ما صحيحة للأعداد الطبيعية جميعها n، اتبع الخطوات الآتية:
الخطوة 1: برهن أن الجملة صحيحة عندما n = 1.
الخطوة 2: افترض أن الجملة صحيحة عند العدد الطبيعي k، وهذا الفرض يُسمَّى فرضية الاستقراء.
الخطوة 3: برهن أن الجملة صحيحة عند العدد الطبيعي التالي k + 1.
برهن أن: 1³ + 2³ + 3³ + ⋯ + n³ = n²(n + 1)²4
الخطوة 1: عندما n = 1، فإن الطرف الأيسر من المعادلة هو 1³ = 1، والطرف الأيمن هو 1²(1 + 1)²4 = 1؛ إذن الجملة صحيحة عندما n = 1.
الخطوة 2: افترض أن 1³ + 2³ + 3³ + … + k³ = k²(k + 1)²4 صحيحة، حيث k عدد طبيعي.
الخطوة 3: برهن أن الجملة صحيحة عندما n = k + 1؛ أيْ برهن أن الجملة 1³ + 2³ + 3³ + ⋯ + (k + 1)³ = (k + 1)²(k + 2)²4 صحيحة.
1³ + 2³ + 3³ + ⋯ + k³ = k²(k + 1)²4
فرضية الاستقراء
1³ + 2³ + ⋯ + k³ + (k + 1)³ = k²(k + 1)²4 + (k + 1)³
اجمع (k + 1)³ لكلا الطرفين
= k²(k + 1)² + 4(k + 1)³4
اجمع
= (k + 1)² [k² + 4(k + 1)]4
حلّل
= (k + 1)² (k² + 4k + 4)4
بسّط
= (k + 1)² (k + 2)²4
حلّل
العبارة الأخيرة هي الطرف الأيمن من المعادلة المطلوب إثباتها عندما n = k + 1، وبهذا فإن العلاقة صحيحة عند جميع الأعداد الطبيعية n.
✓ تحقق من فهمك
(1) برهن أن: 1² + 2² + 3² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1)6
وكما في برهان المجموع فإن مبدأ الاستقراء الرياضيّ يمكنك استعماله لبرهنة قابلية القسمة أيضًا.
مثال 2
برهان قابلية القسمة
برهن أن 8ⁿ − 1 يقبل القسمة على 7 لكل عدد طبيعي n.
💡 قابلية القسمة: يقال عن عددٍ ما: إنه يقبل القسمة على 4 إذا أمكن كتابة ذلك العدد في الصورة 4r، حيث r عدد طبيعي، ويُستعمل هذا التعبير في برهان قابلية القسمة.
الخطوة 1: عندما n = 1، فإن 8ⁿ − 1 = 8¹ − 1 = 7. وبما أن 7 يقبل القسمة على 7، فإن الجملة صحيحة عندما n = 1.
الخطوة 2: افترض أن 8ᵏ − 1 يقبل القسمة على 7، حيث k عدد طبيعي، وهذا يعني أنه يوجد عدد طبيعي r بحيث إن 8ᵏ − 1 = 7r.
الخطوة 3: برهن صحة الجملة عند n = k + 1؛ أي برهن أن 8ᵏ⁺¹ − 1 يقبل القسمة على 7:
8ᵏ − 1 = 7r
فرضية الاستقراء
8ᵏ = 7r + 1
أضف 1 لكلا الطرفين
8(8ᵏ) = 8(7r + 1)
اضرب كلا الطرفين في 8
8ᵏ⁺¹ = 56r + 8
بسّط
8ᵏ⁺¹ − 1 = 56r + 7
اطرح 1 من كلا الطرفين
8ᵏ⁺¹ − 1 = 7(8r + 1)
حلّل بإخراج العامل 7
بما أن r عدد طبيعي فإن 8r + 1 عدد طبيعي، إذن 8ᵏ⁺¹ − 1 يقبل القسمة على 7، وهذا يبرهن أن 8ⁿ − 1 يقبل القسمة على 7 لكل عدد طبيعي n.
✓ تحقق من فهمك
(2) برهن أن 7ⁿ − 1 يقبل القسمة على 6 لكل عدد طبيعي n.
الأمثلة المضادَّة: يمكنك إثبات خطأ جملة رياضية من خلال مبدأ الاستقراء الرياضيّ، وأسهل طريقة لعمل ذلك هي إيجاد مثال مضادٍّ تكون عنده الجملة الرياضية خاطئة. (أحد معاني كلمة مضادّ هو مناقض، لذلك فإن المثال المضادّ هو مثال يناقض الفرضية.)
مثال 3
استعمال المثال المضادِّ لإثبات خطأ جملة رياضية
أعطِ مثالًا مضادًّا يبيِّن خطأ الجملة: "2ⁿ + 2n² تقبل القسمة على 4، حيث n أي عدد طبيعي".
اختبر قيمًا مختلفة للعدد n:
| n |
2ⁿ + 2n² |
هل تقبل القسمة على العدد 4؟ |
| 1 |
2¹ + 2(1)² = 2 + 2 = 4 |
نعم |
| 2 |
2² + 2(2)² = 4 + 8 = 12 |
نعم |
| 3 |
2³ + 2(3)² = 8 + 18 = 26 |
لا |
إذن فالقيمة n = 3 تُعدُّ مثالًا مضادًّا للجملة.
✓ تحقق من فهمك
(3) أعطِ مثالًا مضادًّا يبيِّن خطأ الجملة: "1² + 2² + 3² + … + n² = n(3n − 1)2، حيث n أيّ عدد طبيعي".
1️⃣ ثلاث خطوات: برهن عند n = 1 ← افترض عند k (فرضية الاستقراء) ← برهن عند k + 1
2️⃣ في برهان قابلية القسمة على عدد d اكتب الفرضية بالصورة … = dr ثم بيّن أن حالة k + 1 تُكتب أيضًا d × (عدد طبيعي)
3️⃣ لإثبات خطأ جملة يكفي مثال مضادّ واحد تكون عنده الجملة خاطئة — جرّب قيم n الصغيرة بالترتيب