درس 23
مثلث باسكال
مثلث باسكال: يُنسبُ مثلّث باسكال إلى العالم الفرنسي بليز باسكال (1623–1662)، على الرغم من قيام العديد من العلماء بدراسته قبله في بلاد المسلمين والهند وبلاد فارس والصين وإيطاليا. ويتكون المثلَّث من صفوف تكون بداية كل صف فيه ونهايته العدد 1، وكل عدد من الأعداد الأخرى في الصف يكون ناتج جمع العددين اللذين فوقه على اليمين واليسار مباشرة، ويمكن استعماله لإيجاد معاملات مفكوك المقدار: (a + b)ⁿ.
(a + b)⁰
(a + b)¹
(a + b)²
(a + b)³
(a + b)⁴
1
11
121
1331
14641
1331
↘ + ↙↘ + ↙↘ + ↙
464
فيكون مفكوك (a + b)⁴ هو:
الأُسس (أُسس a) تبدأ من 4 وتتناقص إلى الصفر ↓
(a + b)⁴ = 1a⁴b⁰ + 4a³b¹ + 6a²b² + 4a¹b³ + 1a⁰b⁴
↑ الأُسس (أُسس b) تبدأ من صفر وتتزايد إلى 4
= a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴
لاحظ أن عدد الحدود في مفكوك (a + b)⁴ هو 5 حدود، ومجموع الأسس في كل حدٍّ هو 4.
✓ تحقق من فهمك
(2) بالعودة إلى فقرة "لماذا"، إذا أراد مدير معمل التحاليل الطبية أن يستأجر 8 متخصِّصين، فما احتمالات أن يختار 6 متخصِّصين من المنطقة الأولى واثنين من المنطقة الثانية؟
1️⃣ كل صف في مثلث باسكال يبدأ وينتهي بالعدد 1، وكل عدد آخر هو مجموع العددين فوقه مباشرة
2️⃣ الصف رقم n يعطي معاملات مفكوك (a + b)ⁿ ، وعدد الحدود n + 1 ، ومجموع الأسس في كل حد يساوي n
3️⃣ أُسس a تتناقص من n إلى 0 وأُسس b تتزايد من 0 إلى n ، ومجموع معاملات الصف يساوي 2ⁿ (عدد الطرائق الممكنة في الاحتمال)
جرّب بنفسك
اختبار الدرس
1
في مثلث باسكال، كيف نحصل على أي عدد داخلي في صف ما؟
2
ما معاملات مفكوك (a + b)³ من مثلث باسكال؟
3
كم عدد الحدود في مفكوك (a + b)⁴؟ وما مجموع الأسس في كل حدّ؟
4
ما معامل الحد a²b² في مفكوك (a + b)⁴؟
5
في مفكوك (a + b)⁶، ما الحد الذي يمثّل اختيار 3 متخصِّصين من المنطقة الأولى و3 من المنطقة الثانية؟
6
إذا أراد مدير معمل أن يستأجر 8 متخصِّصين، فما احتمال أن يختار 6 متخصِّصين من المنطقة الأولى واثنين من المنطقة الثانية؟ (استعمل مفكوك (a + b)⁸)