درس 22

مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية المتقاربة

مفهوم أساسي

مجموع حدود المتسلسلة الهندسية اللانهائية المتقاربة يُرمز له بالرمز S حيث |r| < 1 ويُعطى بالصيغة:

S = a₁1 − r

وعندما تكون المتسلسلة الهندسية اللانهائية متباعدة (|r| ≥ 1)، فإنه لا يوجد مجموع لحدود المتسلسلة؛ لأن قيمة rⁿ تزداد بلا حدود مع زيادة n.

n	Sₙ
5	1364
10	1398100
15	1431655764

الجدول المجاور يوضّح المجاميع الجزئية للمتسلسلة الهندسية المتباعدة 4 + 16 + 64 + … ، حيث إنه كلما زادت قيمة n، فإن Sₙ تزداد بسرعة كبيرة جدًّا.

مثال 2

مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية

أوجد مجموع حدود كلٍّ من المتسلسلتين الهندسيتين الآتيتين إن وُجد:

(a) 23 + 615 + 1875 + …

الخطوة 1: أوجد قيمة r للتأكد من وجود المجموع من عدمه.

r = 615 ÷ 23 = 35 اقسم الحدّ على الحدّ السابق له مباشرة

بما أن 3/5 < 1، فإن للمتسلسلة مجموعًا.

الخطوة 2: استعمل المعادلة لإيجاد المجموع.

S = a₁1 − r صيغة المجموع
= 231 − 35 a₁ = 2/3 ، r = 3/5
= 23 ÷ 25 = 53 بسّط

(b) 6 + 9 + 13.5 + 20.25 + …

r = 9 ÷ 6 = 1.5 اقسم الحدّ على الحدّ السابق له

بما أن 1.5 > 1، فإن المتسلسلة متباعدة ولا يوجد لها مجموع.

✓ تحقق من فهمك

أوجد مجموع حدود كل متسلسلة مما يأتي إن وجد:

(2A) 4 − 2 + 1 − 0.5 + …

(2B) 16 + 20 + 25 + …

يمكنك استعمال رمز المجموع لكتابة المتسلسلات الهندسية اللانهائية، وهي التي تستمر حدودها إلى ما لانهاية؛ أي أنها تستمر دون توقف، ويُستعمل الرمز ∞ فوق رمز المجموع للدلالة على ذلك:

a₁ + a₁r + a₁r² + … + a₁r^k−1 + … = ∞Σk = 1a₁ r^{k − 1}

مثال 3

رمز المجموع والمتسلسلة اللانهائية

أوجد قيمة: ∞Σk = 118 (45)^{k − 1}

المتسلسلة هندسية لانهائية فيها a₁ = 18 , r = 4/5، وبما أن |4/5| < 1 فهي متقاربة ولها مجموع.

S = a₁1 − r صيغة المجموع
= 181 − 45 a₁ = 18 ، r = 4/5 ، ثم بسّط
= 1815 = 90 بسّط

✓ تحقق من فهمك

(3) أوجد قيمة: ∞Σk = 112 (34)^{k − 1}

الكسور الدورية: الكسر العشري الدوري هو مجموع متسلسلة هندسية لانهائية. فعلى سبيل المثال 0.45 = 0.454545… = 0.45 + 0.0045 + 0.000045 + … . ويمكن استعمال صيغة مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية لتحويل هذا الكسر العشري الدوري إلى كسر اعتيادي.

مثال 4

تحويل الكسر العشري الدوري إلى كسر اعتيادي

اكتب الكسر العشري الدوري 0.63 في صورة كسر اعتيادي.

الطريقة 1: باستعمال مجموع متسلسلة هندسية لانهائية

0.63 = 0.63 + 0.0063 + … = 63100 + 6310000 + …
S = a₁1 − r صيغة المجموع
= 631001 − 1100 a₁ = 63/100 ، r = 1/100
= 6399 = 711 بسّط

الطريقة 2: باستعمال الخواص الجبرية

x = 0.63 افترض x = الكسر الدوري
x = 0.636363… اكتب في صورة كسر عشري دوري
100x = 63.636363… اضرب كلا الطرفين في 100
99x = 63 اطرح x من 100x والكسر من 63.63…
x = 6399 = 711 اقسم الطرفين على 99

💡 اختيار الأسلوب الأفضل للحساب: في كثير من الأحيان يمكن حلُّ المسألة بأكثر من طريقة، ولذلك استعمل الطريقة التي تفضّلها.

✓ تحقق من فهمك

(4) اكتب الكسر العشري الدوري 0.21 في صورة كسر اعتيادي.

1️⃣ إذا كانت |r| < 1 فللمتسلسلة اللانهائية مجموع: S = a₁/(1 − r) ، وإذا كانت |r| ≥ 1 فلا يوجد مجموع

2️⃣ تحقّق من r أولًا قبل تطبيق الصيغة — هذه هي الخطوة 1 دائمًا

3️⃣ الكسر العشري الدوري متسلسلة هندسية لانهائية متقاربة، ويمكن تحويله إلى كسر اعتيادي بصيغة المجموع أو بالخواص الجبرية

اختبار الدرس

1

ما صيغة مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية المتقاربة حيث |r| < 1؟

2

أوجد مجموع حدود المتسلسلة 16 + 20 + 25 + … إن وجد.

3

أوجد مجموع حدود المتسلسلة 45 + 22.5 + 11.25 + …

4

أوجد مجموع حدود المتسلسلة 4 − 2 + 1 − 0.5 + … إن وجد.

5

أوجد قيمة: ∞Σk = 112 (3/4)^{k − 1}

6

اكتب الكسر العشري الدوري 0.21 في صورة كسر اعتيادي.