مفهوم أساسي
مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية المتقاربة
مجموع حدود المتسلسلة الهندسية اللانهائية المتقاربة يُرمز له بالرمز S حيث
|r| < 1 ويُعطى بالصيغة:
S = a₁1 − r
وعندما تكون المتسلسلة الهندسية اللانهائية متباعدة (|r| ≥ 1)، فإنه لا يوجد مجموع لحدود المتسلسلة؛ لأن قيمة rⁿ تزداد بلا حدود مع زيادة n.
| n |
Sₙ |
| 5 | 1364 |
| 10 | 1398100 |
| 15 | 1431655764 |
الجدول المجاور يوضّح المجاميع الجزئية للمتسلسلة الهندسية المتباعدة 4 + 16 + 64 + … ، حيث إنه كلما زادت قيمة n، فإن Sₙ تزداد بسرعة كبيرة جدًّا.
مثال 2
مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية
أوجد مجموع حدود كلٍّ من المتسلسلتين الهندسيتين الآتيتين إن وُجد:
(a) 23 + 615 + 1875 + …
الخطوة 1: أوجد قيمة r للتأكد من وجود المجموع من عدمه.
r = 615 ÷ 23 = 35
اقسم الحدّ على الحدّ السابق له مباشرة
بما أن 3/5 < 1، فإن للمتسلسلة مجموعًا.
الخطوة 2: استعمل المعادلة لإيجاد المجموع.
S = a₁1 − r
صيغة المجموع
= 231 − 35
a₁ = 2/3 ، r = 3/5
= 23 ÷ 25 = 53
بسّط
(b) 6 + 9 + 13.5 + 20.25 + …
r = 9 ÷ 6 = 1.5
اقسم الحدّ على الحدّ السابق له
بما أن 1.5 > 1، فإن المتسلسلة متباعدة ولا يوجد لها مجموع.
✓ تحقق من فهمك
أوجد مجموع حدود كل متسلسلة مما يأتي إن وجد:
(2A) 4 − 2 + 1 − 0.5 + …
(2B) 16 + 20 + 25 + …
يمكنك استعمال رمز المجموع لكتابة المتسلسلات الهندسية اللانهائية، وهي التي تستمر حدودها إلى ما لانهاية؛ أي أنها تستمر دون توقف، ويُستعمل الرمز ∞ فوق رمز المجموع للدلالة على ذلك:
a₁ + a₁r + a₁r² + … + a₁rk−1 + … = ∞Σk = 1a₁ rk − 1
مثال 3
رمز المجموع والمتسلسلة اللانهائية
أوجد قيمة: ∞Σk = 118 (45)k − 1
المتسلسلة هندسية لانهائية فيها a₁ = 18 , r = 4/5، وبما أن |4/5| < 1 فهي متقاربة ولها مجموع.
S = a₁1 − r
صيغة المجموع
= 181 − 45
a₁ = 18 ، r = 4/5 ، ثم بسّط
= 1815 = 90
بسّط
✓ تحقق من فهمك
(3) أوجد قيمة: ∞Σk = 112 (34)k − 1
الكسور الدورية: الكسر العشري الدوري هو مجموع متسلسلة هندسية لانهائية. فعلى سبيل المثال 0.45 = 0.454545… = 0.45 + 0.0045 + 0.000045 + … . ويمكن استعمال صيغة مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية لتحويل هذا الكسر العشري الدوري إلى كسر اعتيادي.
مثال 4
تحويل الكسر العشري الدوري إلى كسر اعتيادي
اكتب الكسر العشري الدوري 0.63 في صورة كسر اعتيادي.
الطريقة 1: باستعمال مجموع متسلسلة هندسية لانهائية
0.63 = 0.63 + 0.0063 + … = 63100 + 6310000 + …
S = a₁1 − r
صيغة المجموع
= 631001 − 1100
a₁ = 63/100 ، r = 1/100
= 6399 = 711
بسّط
الطريقة 2: باستعمال الخواص الجبرية
x = 0.63
افترض x = الكسر الدوري
x = 0.636363…
اكتب في صورة كسر عشري دوري
100x = 63.636363…
اضرب كلا الطرفين في 100
99x = 63
اطرح x من 100x والكسر من 63.63…
x = 6399 = 711
اقسم الطرفين على 99
💡 اختيار الأسلوب الأفضل للحساب: في كثير من الأحيان يمكن حلُّ المسألة بأكثر من طريقة، ولذلك استعمل الطريقة التي تفضّلها.
✓ تحقق من فهمك
(4) اكتب الكسر العشري الدوري 0.21 في صورة كسر اعتيادي.
1️⃣ إذا كانت |r| < 1 فللمتسلسلة اللانهائية مجموع: S = a₁/(1 − r) ، وإذا كانت |r| ≥ 1 فلا يوجد مجموع
2️⃣ تحقّق من r أولًا قبل تطبيق الصيغة — هذه هي الخطوة 1 دائمًا
3️⃣ الكسر العشري الدوري متسلسلة هندسية لانهائية متقاربة، ويمكن تحويله إلى كسر اعتيادي بصيغة المجموع أو بالخواص الجبرية