درس 24

نظرية ذات الحدَّين

نظرية ذات الحدَّين: يمكن استعمال نظرية ذات الحدَّين لإيجاد مفكوك ذات الحدَّين بدلًا من استعمال مثلَّث باسكال.

مفهوم أساسي

نظرية ذات الحدين

إذا كان n عددًا طبيعيًّا، فإن:

(a + b)ⁿ = ₙC₀ aⁿb⁰ + ₙC₁ aⁿ⁻¹b¹ + ₙC₂ aⁿ⁻²b² + … + ₙCₙ a⁰bⁿ
= nΣk = 0ₙCₖ aⁿ⁻ᵏ bᵏ = nΣk = 0n!k!(n − k)! aⁿ⁻ᵏ bᵏ

💡 توافيق: كُتب عدد التوافيق لعناصر عددها n مأخوذ منها r عنصرًا كل مرَّة بالرمز ₙCᵣ حيث: 0! = 1 ، ₙCᵣ = n!r!(n − r)! ، ₙC₀ = 1 ، ₙCₙ = 1

عند استعمال النظرية عوِّض عن n بقيمة الأُسِّ، ولاحظ كيف ستتبع الحدود النمطَ نفسَه في مثلَّث باسكال، وكيف تتماثل المعاملات. وإذا كانت الإشارة بين الحدّين سالبة (a − b)ⁿ، فاكتبها بالشكل (a + (−b))ⁿ قبل إيجاد المفكوك.

مثال 2

استعمال نظرية ذات الحدين

أوجد مفكوك (a + b)⁷.

الطريقة الأولى: استعمال التوافيق — استبدل 7 مكان n في نظرية ذات الحدَّين.

(a + b)⁷ = a⁷ + ₇C₁ a⁶b + ₇C₂ a⁵b² + ₇C₃ a⁴b³ + ₇C₄ a³b⁴ + ₇C₅ a²b⁵ + ₇C₆ ab⁶ + b⁷
= a⁷ + 7!6! a⁶b + 7!2!5! a⁵b² + 7!3!4! a⁴b³ + 7!4!3! a³b⁴ + 7!5!2! a²b⁵ + 7!6! ab⁶ + b⁷
= a⁷ + 7a⁶b + 21a⁵b² + 35a⁴b³ + 35a³b⁴ + 21a²b⁵ + 7ab⁶ + b⁷

الطريقة الثانية: استعمال مثلَّث باسكال — استعمل نظرية ذات الحدَّين لإيجاد القوى، وبدلًا من إيجاد المعاملات باستعمال التوافيق، استعمل الصف السابع من مثلَّث باسكال.

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

(a + b)⁷ = a⁷ + 7a⁶b + 21a⁵b² + 35a⁴b³ + 35a³b⁴ + 21a²b⁵ + 7ab⁶ + b⁷

✓ تحقق من فهمك

(2) أوجد مفكوك (x + y)¹⁰.

تحتاج في بعض الأحيان إلى إيجاد قيمة أحد الحدود في المفكوك، ويمكنك عندها استعمال الحد العام في صيغة المجموع لنظرية ذات الحدَّين بحيث تجد الحدَّ الذي ترتيبه k + 1 أو tₖ₊₁ في مفكوك (a + b)ⁿ باستعمال الصيغة:

tₖ₊₁ = ₙCₖ aⁿ⁻ᵏ bᵏ

مثال 4

إيجاد قيمة حدّ معيّن

أوجد قيمة الحدّ الخامس في مفكوك (y + z)¹¹.

استعمل صيغة الحدِّ العام لإيجاد الحدِّ الخامس في مفكوك (y + z)¹¹:

tₖ₊₁ = ₙCₖ aⁿ⁻ᵏ bᵏ صيغة الحد العام
t₅ = t₄₊₁ = ₁₁C₄ y¹¹⁻⁴ z⁴ n = 11 ، وبما أن الحدَّ المطلوب هو الخامس فإن k = 4
= 330 y⁷ z⁴ ₁₁C₄ = 11! / (4! 7!) = 330

✓ تحقق من فهمك

(4) أوجد قيمة الحدِّ السادس في مفكوك (c + d)¹⁰.

ملخص المفاهيم

مفكوك ذات الحدِّين

في مفكوك ذات الحدَّين (a + b)ⁿ:

عدد الحدود n + 1.
أسُّ a في الحدِّ الأول هو n، وكذلك أسُّ b في الحدِّ الأخير هو n.
يقلُّ أسُّ a بمقدار واحد، ويزيد أسُّ b بمقدار واحد في أيِّ حدَّين متتاليين.
مجموع الأسس في أي حدٍّ يساوي n دائمًا.
المعاملات في المفكوك متماثلة.

1️⃣ معاملات المفكوك هي التوافيق: ₙCₖ = n! / (k!(n − k)!) — بديل مباشر عن مثلث باسكال

2️⃣ لإيجاد حدٍّ معيّن ترتيبه m استعمل k = m − 1 في صيغة الحد العام tₖ₊₁ = ₙCₖ aⁿ⁻ᵏ bᵏ

3️⃣ إذا كانت الإشارة سالبة (a − b)ⁿ فاكتبها (a + (−b))ⁿ قبل الفك

اختبار الدرس

1

في مفكوك (a + b)ⁿ بنظرية ذات الحدَّين، ما معامل الحد الذي فيه aⁿ⁻ᵏbᵏ؟

2

ما قيمة ₇C₂؟

3

ما معامل الحد a⁴b³ في مفكوك (a + b)⁷؟

4

في مفكوك (x + y)¹⁰، ما معامل الحد x⁸y²؟

5

أوجد قيمة الحدّ الخامس في مفكوك (y + z)¹¹.

6

أوجد قيمة الحدِّ السادس في مفكوك (c + d)¹⁰.