المتوسط والتباين والانحراف المعياري للتوزيع ذي الحدين

مفهوم أساسي

المتوسط والتباين والانحراف المعياري للتوزيع ذي الحدين

مثال 3

المتوسط والتباين والانحراف المعياري للتوزيع ذي الحدين

اختبار: بالرجوع إلى تجربة ذات الحدين في المثال 2 (اختير 5 طلاب و 35% أجابوا بشكل اعتيادي)، أوجد المتوسط والتباين والانحراف المعياري للمتغير العشوائي X، ثُمَّ فسّر معنى المتوسط في سياق الموقف.

استعمل صيغ المتوسط والتباين والانحراف المعياري للتوزيع ذي الحدين. في هذه التجربة ذات الحدين: n = 5 , p = 0.35 , q = 0.65.

μ = np = 5(0.35) = 1.75
σ² = npq = 5(0.35)(0.65) = 1.1375
σ = √σ² = √1.1375 ≈ 1.0665

متوسط التوزيع يساوي 1.8 تقريبًا، ويعني أن طالبَين تقريبًا من أصل 5 أجابوا بنعم. كل من التباين والانحراف المعياري يساوي 1.1 تقريبًا.

(3) كليات: أوجد المتوسط والتباين والانحراف المعياري للمتغير العشوائي X في تجربة الكليات (اختير 7 خريجين و 48% يدرسون لغة عالمية)، وفسّر معنى المتوسط في سياق الموقف.

مفهوم أساسي

تقريب التوزيع ذي الحدين إلى التوزيع الطبيعي

مثال 4

تقريب التوزيع ذي الحدين إلى توزيع طبيعي

أشارت دراسة سابقة إلى أن 64% من الخريجين يرون أن سنوات الجامعة كانت ممتعة. وقد نفَّذ بلال دراسة مسحية على 300 من هؤلاء الخريجين اختارهم عشوائيًّا. ما احتمال أن يوافق 200 خريج منهم على الأقل على ما جاء في الدراسة الإحصائية السابقة؟

في الدراسة المسحية التي نفَّذها بلال، عدد الخريجين الذين يرون أن سنوات الجامعة كانت ممتعة يتبع التوزيع ذا الحدين، حيث: n = 300 , p = 0.64 , q = 0.36. وحيث إن:

np = 300(0.64) = 192 > 5
nq = 300(0.36) = 108 > 5

يمكنك استعمال التوزيع الطبيعي لتقريب الاحتمال على النحو الآتي:

μ = np = 300(0.64) = 192 المتوسط للتوزيع الطبيعي ، n = 300 ، p = 0.64
σ = √npq = √300(0.64)(0.36) ≈ 8.31 الانحراف المعياري للتوزيع الطبيعي ، استعمل الآلة الحاسبة

العدد 200 أكبر من المتوسط بمقدار انحراف معياري واحد تقريبًا كما هو مبين في الرسم أعلاه؛ لذا يكون احتمال أن يوافق 200 خريج منهم على الأقل يساوي (13.5 + 2 + 0.5)% = 16% تقريبًا.

(4) أشارت دراسة سابقة إلى أن 32% من أولياء الأمور المستطلعة آراؤهم يرون أنه يجب تقليل عدد أيام الإجازة الصيفية للطلاب في نهاية العام الدراسي. غير أن آية ترى أن النسبة أقل من ذلك، ولذلك قامت بإجراء دراسة مسحية شملت 250 من أولياء الأمور اختارتهم بطريقة عشوائية ممن استهدفتهم الدراسة السابقة. ما احتمال ألَّا يرى أكثر من 65 من أولياء الأمور وجوبَ تقليلِ عدد أيام الإجازة الصيفية؟

1️⃣ للتوزيع ذي الحدين: μ = np ، و σ² = npq ، و σ = √npq

2️⃣ شرط التقريب الطبيعي: np ≥ 5 و nq ≥ 5 — تحقق منهما أولًا دائمًا

3️⃣ بعد التقريب، حدّد بُعد القيمة عن μ بوحدات σ ثم استعمل القانون التجريبي (34 ، 13.5 ، 2 ، 0.5)% لإيجاد الاحتمال