المتتابعات الهندسية

مفهوم أساسي

الحد النوني في المتتابعة الهندسية

تُستعمل الصيغة الآتية للتعبير عن الحدّ النوني في متتابعة هندسية حدّها الأول a₁، وأساسها r، حيث n عدد طبيعي:

aₙ = a₁ rⁿ⁻¹

مثال 1 — من واقع الحياة

إيجاد الحدّ النوني في متتابعة هندسية

بريد إلكتروني: أرسل أحمد خمس رسائل في المرحلة الأولى، وفي المرحلة الثانية أرسل كلُّ شخص من الخمسة الرسالة إلى خمسة أشخاص آخرين، وهكذا. ما عدد رسائل البريد الإلكتروني المرسَلة في المرحلة الثامنة؟

افهم: نريد عدد الرسائل في المرحلة الثامنة (مع مراعاة أن كلَّ شخصٍ استلم رسالة واحدة).

خطّط: يُشكّل عدد الرسائل المرسلة في كلِّ مرحلة متتابعة هندسية أساسها r = 5، لذا استعمل صيغة الحدّ النوني.

aₙ = a₁ r^{n − 1} الحدّ النوني في المتتابعة الهندسية
a₈ = 5(5)^{8 − 1} a₁ = 5 ، r = 5 ، n = 8
a₈ = 5(78125) = 390625 5⁷ = 78125

وعليه فإن عدد الرسائل المرسلة في المرحلة الثامنة هو 390625 رسالة.

تحقَّق: اكتب الحدود الثمانية الأولى من المتتابعة بالضرب في أساس المتتابعة:

5 , 25 , 125 , 625 , 3125 , 15625 , 78125 , 390625 ✓

مثال 2

كتابة صيغة الحد النوني لمتتابعة هندسية

(a) 0.5, 2, 8, 32, …

الحدّ الأول 0.5، والأساس r يُستخرج كما يأتي: r = 82 = 4

aₙ = a₁ r^{n − 1} ⟹ aₙ = 0.5(4)^{n − 1} a₁ = 0.5 ، r = 4

(b) a₄ = 5 , r = 6

الخطوة 1: إيجاد a₁:

5 = a₁(6^{4 − 1}) aₙ = 5 ، r = 6 ، n = 4
5216 = a₁ أوجد قيمة 6³ ثم اقسم عليها

الخطوة 2: كتابة الصيغة:

aₙ = 5216 (6)^{n − 1} a₁ = 5/216 ، r = 6

1️⃣ الصيغة: aₙ = a₁ rⁿ⁻¹ — الأس n − 1 وليس n

2️⃣ الأساس: r = أي حد ÷ الحد السابق له

3️⃣ إذا عُلم حدٌّ غير الأول (مثل a₄)، أوجد a₁ أولًا بالقسمة على r مرفوعًا للأس المناسب