اختبر فهمك

اختبار: المستقيمات المتعامدة ومعادلات المستقيم

1

ما هو شرط تعامد مستقيمين؟

الشرح

في هذا الدرس سنكمل كلامنا عن الميل للمستقيمات وسنتعلم عن المستقيمات المتعامدة ومعادلات المستقيم.

سنستكشف العلاقة بين ميول المستقيمات المتعامدة وكيفية كتابة معادلات المستقيم بصيغ مختلفة.

1. المستقيمات المتعامدة وعلاقة الميل

إذا كان المستقيمان متعامدين، فهل توجد علاقة ثابتة بين ميل المستقيم الأول والثاني المتعامد عليه؟

الإجابة: نعم! العلاقة تقول: إذا ضربنا ميل مستقيم في ميل مستقيم آخر وطلع الناتج -1، فهذا يعني أنهما متعامدان.

قانون التعامد

إذا كان m₁ × m₂ = -1

فالمستقيمان متعامدان

حيث m₁ و m₂ هما ميلا المستقيمين

مثال أول: التحقق من التعامد

لو عندنا مستقيم ميله 4 (موجب، يعني في ازدياد)

ومستقيم ثاني ميله -¼ (سالب، يعني في تناقص)

حاصل ضرب الميلين = 4 × (-¼) = -1
النتيجة: المستقيمان متعامدان ✓

مثال ثاني: حساب الميل من النقاط والتحقق من التعامد

المستقيم الأول: النقطة D(6,1) والنقطة C(3,2)

المستقيم الثاني: النقطة B(-1,-5) والنقطة A(1,1)

ميل المستقيم الأول:
m₁ = (1-2) ÷ (6-3) = -1 ÷ 3 = -⅓
ميل المستقيم الثاني:
m₂ = (1-(-5)) ÷ (1-(-1)) = 6 ÷ 2 = 3
التحقق من التعامد:
m₁ × m₂ = (-⅓) × 3 = -1 ✓
المستقيمان متعامدان!

2. معادلات المستقيم

لدينا صيغتان أساسيتان لكتابة معادلة المستقيم حسب المعطيات المتاحة.

الصيغة الأولى

نعرف الميل ونقطة التقاطع مع محور Y

y = mx + b

حيث m = الميل، b = نقطة التقاطع

الصيغة الثانية

نعرف الميل ونقطة على المستقيم

y - y₁ = m(x - x₁)

حيث (x₁, y₁) نقطة معلومة

مثال على الصيغة الأولى

مستقيم ميله 3 ويتقاطع مع محور Y عند -2

y = mx + b
y = 3x + (-2)
y = 3x - 2

مثال على الصيغة الثانية

مستقيم ميله -¾ ويمر بالنقطة (-2, 5)

y - y₁ = m(x - x₁)
y - 5 = -¾(x - (-2))
y - 5 = -¾(x + 2)
المعادلة النهائية

إيجاد معادلة المستقيم من نقطتين

النقطة الأولى: (0, 3) والنقطة الثانية: (-2, -1)

الخطوة 1: حساب الميل
m = (y₂ - y₁) ÷ (x₂ - x₁)
m = (3 - (-1)) ÷ (0 - (-2))
m = 4 ÷ 2 = 2
الخطوة 2: كتابة المعادلة
باستخدام النقطة (0, 3):
y - 3 = 2(x - 0)
y - 3 = 2x
y = 2x + 3
التحقق: باستخدام النقطة (-2, -1):
y - (-1) = 2(x - (-2))
y + 1 = 2(x + 2)
y + 1 = 2x + 4
y = 2x + 3 ✓

ملخص الدرس

التعامد: إذا كان m₁ × m₂ = -1، فالمستقيمان متعامدان
الصيغة الأولى: y = mx + b (نعرف الميل ونقطة التقاطع)
الصيغة الثانية: y - y₁ = m(x - x₁) (نعرف الميل ونقطة)
من نقطتين: أولاً احسب الميل، ثم استخدم إحدى الصيغتين
التحقق: أي نقطة على المستقيم تحقق المعادلة

حل بالخطوات

1

التحقق من التعامد: مستقيم ميله 4 ومستقيم آخر ميله -¼

2

إيجاد الميل المتعامد: إذا كان ميل المستقيم = ⅔، ما هو ميل المستقيم المتعامد عليه؟

3

التحقق من التعامد باستخدام النقاط: D(6,1), C(3,2) والمستقيم الثاني B(-1,-5), A(1,1)

4

معادلة المستقيم بالصيغة y = mx + b: ميل = 3، التقاطع مع محور Y عند -2

5

معادلة المستقيم بصيغة النقطة والميل: ميل = -¾، يمر بالنقطة (-2, 5)

6

إيجاد معادلة المستقيم من نقطتين: (0, 3) و (-2, -1)

7

إيجاد معادلة مستقيم متعامد: المستقيم y = 2x + 1، إيجاد معادلة المستقيم المتعامد عليه والمار بالنقطة (4, 1)

8

مسألة تطبيقية: إيجاد معادلة خط الوسط العمودي للقطعة المستقيمة بين النقطتين A(2, 4) و B(6, 2)

الميل و تعامد المستقيمات