المضلعات المتشابه

المضلعات المتشابهة هي الأشكال الهندسية التي تحافظ على نفس الشكل مع اختلاف الحجم، وهي مفهوم أساسي في الهندسة التحليلية والتطبيقية.

المضلعات هي الأشكال التي تتكون من ثلاثة أضلاع أو أكثر، بدءاً من المثلث وانتهاءً بالدائرة (مضلع لا نهائي الأضلاع).

1. ما هي المضلعات؟

📐 تعريف المضلع

المضلع هو شكل هندسي مغلق يتكون من خطوط مستقيمة تسمى الأضلاع، وتلتقي هذه الأضلاع في نقاط تسمى الرؤوس.

المثلث

3 أضلاع - أبسط المضلعات

الرباعي

4 أضلاع (مربع، مستطيل، معين)

الخماسي والسداسي

5، 6 أضلاع وأكثر

الدائرة

مضلع لا نهائي الأضلاع

2. شروط التشابه في المضلعات

لكي نقول أن مضلعين متشابهان، يجب أن يحققا شرطين أساسيين:

الشرط الأول: تناسب الأضلاع المتناظرة

\frac{a_1}{a_1'} = \frac{a_2}{a_2'} = \frac{a_3}{a_3'} = ... = k

حيث k نسبة التشابه

المعنى:

جميع الأضلاع المتناظرة يجب أن تكون لها نفس النسبة. فإذا قسمنا أي ضلع في المضلع الأول على نظيره في المضلع الثاني، نحصل على نفس الرقم.

الشرط الثاني: تساوي الزوايا المتناظرة

\angle A_1 = \angle A_1', \quad \angle A_2 = \angle A_2', \quad \angle A_3 = \angle A_3'

المعنى:

كل زاوية في المضلع الأول تساوي الزاوية المتناظرة لها في المضلع الثاني تماماً.

🔍 قاعدة مهمة: إذا تحقق الشرطان معاً، فالمضلعان متشابهان.

3. أمثلة من النص

المثال الأول: مربعان متشابهان

المربع الأول:

  • طول الضلع = 4
  • جميع الزوايا = 90°

المربع الثاني:

  • طول الضلع = 8
  • جميع الزوايا = 90°

✅ التحقق من الشروط:

• نسبة الأضلاع: \frac{8}{4} = 2 (ثابتة لجميع الأضلاع)

• الزوايا المتناظرة متساوية: كلها 90°

النتيجة: المربعان متشابهان

المثال الثاني: شبهي منحرف متشابهان

شبه المنحرف الأول:

  • الأضلاع: 10, 8, 18, 8
  • الزوايا: 70°, 110°, 70°, 110°

شبه المنحرف الثاني:

  • الأضلاع: 5, 4, 9, 4
  • الزوايا: 70°, 110°, 70°, 110°

✅ التحقق من الشروط:

• نسبة الأضلاع: \frac{10}{5} = \frac{8}{4} = \frac{18}{9} = \frac{8}{4} = 2

• الزوايا المتناظرة متساوية

النتيجة: شبها المنحرف متشابهان

4. الحالة الخاصة: المثلثات المتشابهة

🔺 خاصية مميزة للمثلثات

بما أن المثلث حالة خاصة من المضلعات (له ثلاثة أضلاع فقط)، فإنه يكفي شرط واحد فقط لإثبات التشابه:

الطريقة الأولى

تساوي الزوايا المتناظرة

إذا تساوت الزوايا المتناظرة، فإن الأضلاع ستكون متناسبة تلقائياً

الطريقة الثانية

تناسب الأضلاع المتناظرة

إذا تناسبت الأضلاع المتناظرة، فإن الزوايا ستكون متساوية تلقائياً

مثال على المثلثات المتشابهة

مثلث بزوايا: 90°, 60°, 30°

أي مثلث آخر له نفس الزوايا (90°, 60°, 30°) سيكون متشابهاً مع المثلث الأول، مهما كانت أطوال أضلاعه.

السبب: إذا تساوت الزوايا، فإن النسب بين الأضلاع ستكون ثابتة تلقائياً.

5. خصائص المضلعات المتشابهة

الخصائص الهندسية

  • نفس الشكل مع اختلاف الحجم
  • الزوايا المتناظرة متساوية
  • الأضلاع المتناظرة متناسبة
  • النسبة ثابتة لجميع الأضلاع

الخصائص الرياضية

  • نسبة المساحات = مربع نسبة التشابه
  • نسبة المحيطات = نسبة التشابه
  • العلاقة انعكاسية (إذا A ~ B فإن B ~ A)
  • العلاقة متعدية (إذا A ~ B و B ~ C فإن A ~ C)

6. طرق إثبات التشابه

📋 الخطوات المنهجية

  1. تحديد الأضلاع المتناظرة: ربط كل ضلع في المضلع الأول بنظيره في الثاني
  2. حساب النسب: قسمة كل ضلع على نظيره المتناظر
  3. التحقق من ثبات النسبة: جميع النسب يجب أن تكون متساوية
  4. مقارنة الزوايا المتناظرة: التأكد من تساويها
  5. الاستنتاج: إذا تحقق الشرطان، فالمضلعان متشابهان

7. تطبيقات عملية للتشابه

في الهندسة المعمارية

  • تصميم المباني والنماذج المصغرة
  • حساب أبعاد التصاميم المختلفة
  • تطبيق النسب الذهبية

في الحياة العملية

  • تكبير وتصغير الصور والخرائط
  • تصميم الرسوم البيانية
  • حسابات المقاييس في الرسم الهندسي

8. أخطاء شائعة يجب تجنبها

⚠️ أخطاء شائعة

  • الخلط بين التطابق والتشابه
  • عدم ربط الأضلاع والزوايا المتناظرة بشكل صحيح
  • اعتبار الأشكال متشابهة بناءً على شرط واحد فقط (عدا المثلثات)
  • نسيان أن التشابه يتطلب ثبات النسبة لجميع الأضلاع
  • الخلط بين نسبة التشابه ونسبة المساحات
{{PolygonSimilaritySimulator}}

9. تمارين تطبيقية

📝 مسائل للحل

التمرين 1:

مستطيل أبعاده 6×4، ومستطيل آخر أبعاده 9×6. هل هما متشابهان؟

التمرين 2:

مثلثان: الأول زواياه 45°, 90°, 45° والثاني زواياه 45°, 90°, 45°. هل هما متشابهان؟

الحلول:

1. نعم، نسبة الأضلاع: \frac{9}{6} = \frac{6}{4} = 1.5 والزوايا متساوية

2. نعم، للمثلثات يكفي تساوي الزوايا

الخلاصة المهمة

المضلعات المتشابهة تحافظ على الشكل مع اختلاف الحجم. للمضلعات العامة نحتاج شرطين: تناسب الأضلاع المتناظرة وتساوي الزوايا المتناظرة. أما المثلثات فحالة خاصة يكفي فيها شرط واحد فقط. فهم التشابه أساسي في الهندسة والتطبيقات العملية.

رياضيات،ثانوي،اول،ثانوي،الثالث

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
الدرس السابق
0
جاري تحميل التعليقات...
المضلعات المتشابه | أكاديمية موسى