اختبر فهمك

1

كم حالة يوجد لإثبات تشابه المثلثات؟

جاري تحميل التمرين...

أسئلة متوقعة

تمارين محلولة — تشابه المثلثات

ثلاث مسائل شاملة للحالات AA وSSS وSAS

الحالات:

AA

تساوي زاويتين

SSS

نسب الأضلاع

SAS

ضلعان + زاوية

١

مسألة ١ — التشابه بتساوي الزوايا (AA)

السؤال

— مثلث ABC: ∠A = 70°، ∠B = 50°. مثلث DEF: ∠D = 70°، ∠F = 60°. هل المثلثان متشابهان؟

— نحسب الزوايا المتبقية (مجموع الزوايا = 180°):

\angle C = 180° - 70° - 50° = 60°

\angle E = 180° - 70° - 60° = 50°

— زوايا ABC = {70°, 50°, 60°} | زوايا DEF = {70°, 50°, 60°} — جميعها متساوية.

△ABC ~ △DEF (حالة AA)

٢

مسألة ٢ — التشابه بنسب الأضلاع (SSS)

السؤال

— مثلث أضلاعه 9، 12، 15. مثلث آخر أضلاعه 6، 8، 10. هل المثلثان متشابهان؟

— نحسب نسب الأضلاع المتناظرة:

\frac{9}{6} = \frac{12}{8} = \frac{15}{10} = 1.5

— جميع النسب متساوية = 1.5 → معامل التشابه k = 1.5 (أي 3:2).

المثلثان متشابهان (حالة SSS) | k = 1.5

٣

مسألة ٣ — التشابه بضلعين وزاوية (SAS)

السؤال

— مثلث ABC: AB = 10، AC = 8، ∠A = 60°. مثلث DEF: DE = 15، DF = 12، ∠D = 60°. هل المثلثان متشابهان؟

— نتحقق من نسبة الضلعين المحاذيين للزاوية:

\frac{AB}{DE} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \qquad \frac{AC}{DF} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}

— النسبتان متساويتان = 2/3 ✓ | الزاوية المحصورة: ∠A = ∠D = 60° ✓

شرط SAS متحقق

— نسبة ضلعين متساوية (2/3) + الزاوية المحصورة بينهما متساوية (60°).

△ABC ~ △DEF (حالة SAS) | k = 2/3

ملخص الحالات

المسألة	الحالة	النتيجة
١ — ABC وDEF	AA	متشابهان — الزوايا {70°,50°,60°}
٢ — 9,12,15 و6,8,10	SSS	متشابهان — k = 1.5
٣ — ABC وDEF	SAS	متشابهان — k = 2/3

نصائح مهمة

— في حالة AA: احسب الزوايا المتبقية (180° − الزاويتين) قبل المقارنة.

— في حالة SSS: رتّب الأضلاع من الأصغر للأكبر قبل حساب النسب لضمان المناظرة الصحيحة.

— في حالة SAS: الزاوية يجب أن تكون محصورة بين الضلعين — وليس أي زاوية.

— معامل التشابه = نسبة أي ضلعين متناظرين = ضلع من T1 ÷ الضلع المناظر من T2.

الشرح

تشابه المثلثات

الهندسة — حالات التشابه الثلاث

الهدف: فهم الحالات الثلاث التي تثبت تشابه مثلثين وكيفية تطبيقها.

AA

تساوي زاويتين

SSS

تساوي نسب الأضلاع

SAS

ضلعان وزاوية محصورة

١

الحالة الأولى: تساوي زاويتين (AA)

— إذا تساوت زاويتان في مثلثين، فإنهما متشابهان.

— الزاوية الثالثة تتساوى تلقائياً لأن مجموع زوايا المثلث = 180°.

\angle A = \angle D,\quad \angle B = \angle E \implies \triangle ABC \sim \triangle DEF

— مثال: ∠A = 60°، ∠B = 50° → ∠C = 70°. ∠D = 60°، ∠E = 50° → ∠F = 70°. المثلثان متشابهان.

تساوي زاويتين يكفي — الثالثة تتساوى تلقائياً

٢

الحالة الثانية: تساوي نسب الأضلاع (SSS)

— إذا كانت نسب الأضلاع المتناظرة الثلاثة متساوية، فالمثلثان متشابهان.

— نسبة التشابه k = ضلع من الأول ÷ الضلع المناظر من الثاني.

\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{CA}{FD} = k \implies \triangle ABC \sim \triangle DEF

— مثال: أضلاع 150, 120, 90 مقابل 75, 60, 45 → k = 2 ✓

النسب الثلاثة متساوية → المثلثان متشابهان

٣

الحالة الثالثة: ضلعان وزاوية محصورة (SAS)

— إذا تساوت نسبة ضلعين والزاوية المحصورة بينهما، فالمثلثان متشابهان.

— لا حاجة لمعرفة الضلع الثالث.

\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF},\quad \angle A = \angle D \implies \triangle ABC \sim \triangle DEF

— مثال: AB/DE = 8/16 = 1/2 , AC/DF = 3/6 = 1/2 , ∠A = ∠D = 45° ✓

نسبة ضلعين + الزاوية المحصورة = تشابه

٤

أمثلة تطبيقية

مثال ١ — AA

— مثلث ABC: ∠A = 70°، ∠B = 60°. مثلث DEF: ∠D = 70°، ∠E = 60°.

— ∠A = ∠D وَ ∠B = ∠E → المثلثان متشابهان (AA).

△ABC ~ △DEF (حالة AA)

مثال ٢ — SSS

— مثلث أضلاعه 6, 8, 10. مثلث آخر 3, 4, 5.

\frac{6}{3} = \frac{8}{4} = \frac{10}{5} = 2

k = 2 — المثلثان متشابهان (حالة SSS)

ملخص الحالات الثلاث

الحالة	الاسم	الشرط
الأولى	AA	تساوي زاويتين
الثانية	SSS	تساوي نسب الأضلاع الثلاثة
الثالثة	SAS	نسبة ضلعين + الزاوية المحصورة

الخلاصة

— لإثبات تشابه مثلثين يكفي إحدى الحالات الثلاث: AA أو SSS أو SAS.

— AA: تساوي زاويتين فقط — الثالثة تتساوى تلقائياً (180° − الزاويتين).

— SSS: نسبة الأضلاع الثلاثة = k.

— SAS: نسبة ضلعين متساوية + الزاوية المحصورة بينهما متساوية.

أهداف الدرس

شرح تشابه المثلثات