المماسات في الدائرة

تعريف المماس

المماس هو مستقيم يلامس الدائرة في نقطة واحدة فقط تُسمى نقطة التماس.

التعريف الأساسي:

المماس للدائرة هو مستقيم يتقاطع مع الدائرة في نقطة واحدة بالضبط.

نقطة التماس: هي النقطة الوحيدة المشتركة بين المماس والدائرة.

مماس للدائرة

النظرية الأساسية للمماس

🔵 النظرية الأساسية

المماس للدائرة عند أي نقطة يكون عمودياً على نصف القطر المرسوم إلى نقطة التماس.

\text{إذا كان } L \text{ مماساً للدائرة عند النقطة } P

\text{فإن } L \perp OP

حيث $O$ مركز الدائرة و $P$ نقطة التماس

المماس عمودي على نصف القطر

خصائص المماسات

الخصائص الأساسية:

عدد المماسات: للدائرة عدد لا نهائي من المماسات
العمودية: كل مماس عمودي على نصف القطر عند نقطة التماس
المسافة: المسافة من مركز الدائرة إلى المماس تساوي نصف القطر
الوحدانية: من أي نقطة خارج الدائرة يمكن رسم مماسين فقط
التساوي: المماسان المرسومان من نقطة خارجية متساويان في الطول

⚠️ ملاحظة مهمة

من أي نقطة داخل الدائرة لا يمكن رسم أي مماس للدائرة.

من أي نقطة على الدائرة يمكن رسم مماس واحد فقط.

من أي نقطة خارج الدائرة يمكن رسم مماسين بالضبط.

المماسات المشتركة للدائرتين

أنواع المماسات المشتركة:

عدد المماسات المشتركة بين دائرتين يعتمد على موضعهما النسبي:

4 مماسات مشتركة
دائرتان منفصلتان

2 مماسات مشتركة
دائرتان متماستان خارجياً

مماس مشترك واحد
دائرتان متماستان داخلياً

لا توجد مماسات مشتركة
دائرة داخل أخرى

أمثلة محلولة

مثال 1: إيجاد معادلة المماس

المطلوب: أوجد معادلة المماس للدائرة $x^2 + y^2 = 25$ عند النقطة $(3, 4)$

الحل:

الخطوة 1: التحقق من أن النقطة على الدائرة

3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 25 \text{ ✓}

الخطوة 2: تحديد مركز الدائرة ونصف القطر

مركز الدائرة: $O(0, 0)$

نصف القطر: $r = 5$

الخطوة 3: إيجاد ميل نصف القطر

m_{OP} = \frac{4-0}{3-0} = \frac{4}{3}

الخطوة 4: إيجاد ميل المماس

بما أن المماس عمودي على نصف القطر:

m_{\text{tangent}} = -\frac{1}{m_{OP}} = -\frac{1}{\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4}

الخطوة 5: كتابة معادلة المماس

باستخدام صيغة النقطة-الميل:

y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3)

y - 4 = -\frac{3}{4}x + \frac{9}{4}

y = -\frac{3}{4}x + \frac{9}{4} + 4 = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{4}

الجواب:

y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{4}

أو

3x + 4y = 25

مثال 2: المماسات من نقطة خارجية

المطلوب: أوجد معادلتي المماسين المرسومين من النقطة $(8, 6)$ إلى الدائرة $x^2 + y^2 = 25$

الحل:

الخطوة 1: التحقق من أن النقطة خارج الدائرة

8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 > 25

النقطة خارج الدائرة ✓

الخطوة 2: استخدام الطريقة العامة

معادلة المماس للدائرة $x^2 + y^2 = r^2$ من النقطة الخارجية $(x_1, y_1)$ :

y - y_1 = m(x - x_1)

حيث نقطة التماس تحقق:

x^2 + y^2 = 25

y = 6 + m(x - 8)

الخطوة 3: إيجاد قيم

m

بالتعويض في معادلة الدائرة:

x^2 + [6 + m(x - 8)]^2 = 25

x^2 + [6 + mx - 8m]^2 = 25

x^2 + (6 - 8m)^2 + 2(6 - 8m)mx + m^2x^2 = 25

(1 + m^2)x^2 + 2m(6 - 8m)x + (6 - 8m)^2 - 25 = 0

الخطوة 4: شرط المماسة

للمماسة، المميز = 0:

\Delta = [2m(6 - 8m)]^2 - 4(1 + m^2)[(6 - 8m)^2 - 25] = 0

بالتبسيط نحصل على:

7m^2 + 24m - 7 = 0

الخطوة 5: حل المعادلة التربيعية

m = \frac{-24 \pm \sqrt{576 + 196}}{14} = \frac{-24 \pm \sqrt{772}}{14} = \frac{-24 \pm 2\sqrt{193}}{14} = \frac{-12 \pm \sqrt{193}}{7}

الجواب: معادلتا المماسين هما:

y - 6 = \frac{-12 + \sqrt{193}}{7}(x - 8)

y - 6 = \frac{-12 - \sqrt{193}}{7}(x - 8)

مثال 3: طول المماس من نقطة خارجية

المطلوب: أوجد طول المماس المرسوم من النقطة $(13, 0)$ إلى الدائرة $x^2 + y^2 = 25$

الحل:

الخطوة 1: تحديد المعطيات

النقطة الخارجية: $P(13, 0)$

مركز الدائرة: $O(0, 0)$

نصف القطر: $r = 5$

الخطوة 2: حساب المسافة من النقطة إلى المركز

OP = \sqrt{(13-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{169} = 13

الخطوة 3: تطبيق نظرية فيثاغورس

في المثلث القائم الزاوية $OTP$ حيث $T$ نقطة التماس:

PT^2 = OP^2 - OT^2

PT^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144

PT = 12

الجواب: طول المماس = 12 وحدة

مثال 4: المماسات المشتركة لدائرتين

المطلوب: كم عدد المماسات المشتركة للدائرتين:
الدائرة الأولى: مركزها $(0, 0)$ ونصف قطرها $3$
الدائرة الثانية: مركزها $(8, 0)$ ونصف قطرها $2$

الحل:

الخطوة 1: حساب المسافة بين المركزين

d = \sqrt{(8-0)^2 + (0-0)^2} = 8

الخطوة 2: تحديد نصفي القطرين

r_1 = 3, \quad r_2 = 2

الخطوة 3: مقارنة المسافة مع نصفي القطرين

$r_1 + r_2 = 3 + 2 = 5$
$|r_1 - r_2| = |3 - 2| = 1$
$d = 8$

بما أن $d > r_1 + r_2$ (أي $8 > 5$ )

الخطوة 4: الاستنتاج

الدائرتان منفصلتان تماماً

الجواب: عدد المماسات المشتركة = 4 مماسات

مثال 5: مماس موازي لمستقيم معطى

المطلوب: أوجد معادلة المماس للدائرة $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$ الموازي للمستقيم $3x + 4y = 0$

الحل:

الخطوة 1: كتابة الدائرة في الصورة القياسية

x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0

(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) = 4

(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4

مركز الدائرة: $(2, 3)$ ، نصف القطر: $r = 2$

الخطوة 2: إيجاد ميل المستقيم المعطى

3x + 4y = 0 \Rightarrow y = -\frac{3}{4}x

الميل = $-\frac{3}{4}$

الخطوة 3: كتابة معادلة المماس

المماس الموازي له نفس الميل:

y - 3 = -\frac{3}{4}(x - 2) + c

y = -\frac{3}{4}x + \frac{3}{2} + 3 + c = -\frac{3}{4}x + \frac{9}{2} + c

الخطوة 4: تطبيق شرط المماسة

المسافة من مركز الدائرة إلى المماس تساوي نصف القطر:

\frac{|3(2) + 4(3) + 4c|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 2

\frac{|6 + 12 + 4c|}{5} = 2

|18 + 4c| = 10

الخطوة 5: حل المعادلة

18 + 4c = \pm 10

الحالة الأولى: $18 + 4c = 10 \Rightarrow c = -2$

الحالة الثانية: $18 + 4c = -10 \Rightarrow c = -7$

الجواب: معادلتا المماسين هما:

3x + 4y = 10

و

3x + 4y = -10

مثال 6: تطبيق عملي

المطلوب: برج اتصالات دائري نصف قطره 50 متر. إذا كان شخص يقف على بُعد 130 متر من مركز البرج، فما أقصر مسافة يحتاج لقطعها للوصول إلى البرج؟

الحل:

الخطوة 1: تحديد المعطيات

نصف قطر البرج: $r = 50$ متر

بُعد الشخص عن المركز: $d = 130$ متر

الخطوة 2: فهم المسألة

أقصر مسافة هي طول المماس من موقع الشخص إلى البرج

الخطوة 3: تطبيق نظرية فيثاغورس

في المثلث القائم الزاوية:

\text{طول المماس}^2 = d^2 - r^2

\text{طول المماس}^2 = 130^2 - 50^2

\text{طول المماس}^2 = 16900 - 2500 = 14400

\text{طول المماس} = \sqrt{14400} = 120 \text{ متر}

الجواب: أقصر مسافة = 120 متر

قواعد مهمة للتذكر

ملخص القواعد الأساسية:

العمودية: المماس عمودي على نصف القطر عند نقطة التماس
طول المماس: من نقطة خارجية = $\sqrt{d^2 - r^2}$ حيث $d$ المسافة إلى المركز
عدد المماسات من نقطة:
- داخل الدائرة: 0 مماس
- على الدائرة: 1 مماس
- خارج الدائرة: 2 مماس
المماسات المشتركة لدائرتين:
- منفصلتان: 4 مماسات
- متماستان خارجياً: 2 مماس
- متماستان داخلياً: 1 مماس
- إحداهما داخل الأخرى: 0 مماس
معادلة المماس: للدائرة $x^2 + y^2 = r^2$ عند $(x_1, y_1)$ هي $xx_1 + yy_1 = r^2$

المماسات للدائرة (Tangent Lines to Circles)

تعريف المماس

التعريف الأساسي:

مماس للدائرة

النظرية الأساسية للمماس

المماس عمودي على نصف القطر

خصائص المماسات

الخصائص الأساسية:

المماسات المشتركة للدائرتين

أنواع المماسات المشتركة:

أمثلة محلولة

الحل:

الحل:

الحل:

الحل:

الحل:

الحل:

قواعد مهمة للتذكر

ملخص القواعد الأساسية:

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات