تقاطع الأوتار والقواطع داخل الدائرة

الهندسة — زوايا الدائرة

الهدف: فهم نظرية الزاوية المتكونة من تقاطع وترين أو قاطعين داخل الدائرة وتطبيقها في حل المسائل.

الوتر

قطعة مستقيمة بين نقطتين على المحيط

القاطع

امتداد الوتر خارج الدائرة

القانون

الزاوية = (قوس₁ + قوس₂) ÷ 2

مراجعة: المماس والوتر والقاطع

— المماس: خط يلتقي مع الدائرة في نقطة واحدة فقط.

— الوتر: قطعة مستقيمة تصل بين نقطتين على المحيط، لا تمتد خارجه.

— القاطع: مستقيم يقطع الدائرة في نقطتين، ويمتد خارجها.

الفرق الأساسي

— الوتر قطعة محدودة الطرفين على المحيط. القاطع هو امتداد الوتر نفسه ليتجاوز الدائرة من الجهتين.

النظرية — تقاطع داخل الدائرة

— إذا تقاطع وتران داخل الدائرة، فإن قياس زاوية التقاطع يساوي نصف مجموع القوسين المتقابلين.

\angle P = \frac{\overset{\frown}{AC} + \overset{\frown}{BD}}{2}

القوس AC 80°

القوس BD 120°

لاحظ

— الزاويتان المتقابلتان عند نقطة التقاطع متساويتان دائمًا. القوسان المستخدمان هما القوسان المتقابلان لا المتجاوران.

مثال ١ — إيجاد الزاوية

— المعطيات: وتران يتقاطعان داخل الدائرة. القوس AC = 80°، القوس BD = 120°.

— المطلوب: قياس زاوية التقاطع.

\angle P = \frac{80^\circ + 120^\circ}{2} = \frac{200^\circ}{2} = 100^\circ

الزاوية = 100°

مثال ٢ — حل عكسي

— المعطيات: الزاوية = 65°، القوس AC = 50°.

— المطلوب: القوس BD.

65^\circ = \frac{50^\circ + BD}{2}

BD = 130^\circ - 50^\circ = 80^\circ

القوس BD = 80°

تطبيق — الساعة الدائرية

— العقربان يتقاطعان في المركز (داخل الدائرة). حرّك السلايدرين لرؤية الزاوية بينهما.

الساعة 1:00

الدقائق 6:00

تمارين

تمرين ١

— وتران PQ وRS يتقاطعان في T. القوس PR = 70°، القوس QS = 110°. أوجد الزاوية PTR.

تمرين ٢

— قاطعان يتقاطعان داخل دائرة بزاوية = 85°. أحد القوسين المتقابلين = 60°. أوجد القوس الآخر.

ملخص النظريات

نوع التقاطع	القانون
داخل الدائرة	(قوس₁ + قوس₂) ÷ 2
خارج الدائرة	(كبير − صغير) ÷ 2
حالة خاصة: مجموع القوسين = 180°	الزاوية = 90°

الخلاصة

— النظرية: الزاوية المتكونة داخل الدائرة = نصف مجموع القوسين المتقابلين.

— الفرق عن الخارجي: الداخلي يجمع، الخارجي يطرح.

— الزاويتان المتقابلتان: متساويتان دائمًا عند نقطة التقاطع.

— حالة خاصة: إذا كان مجموع القوسين = 180° فالزاوية قائمة.

التقاء وترين أو قاطعين داخل الدائرة

الشرح