المماسات للدائرة

الهندسة التحليلية — Tangent Lines to Circles

الهدف: فهم تعريف المماس وخصائصه وتطبيق نظرياته في إيجاد معادلات المماسات وأطوالها.

التعريف

خط يلامس الدائرة في نقطة واحدة

النظرية

المماس ⊥ نصف القطر

الطول

√(d² − r²) من نقطة خارجية

تعريف المماس

— المماس: مستقيم يتقاطع مع الدائرة في نقطة واحدة بالضبط تُسمى نقطة التماس.

— المماس عمودي على نصف القطر المرسوم إلى نقطة التماس.

زاوية المماس 0°

L \perp OP

المماس عمودي على نصف القطر

عدد المماسات من نقطة

— داخل الدائرة: لا يوجد مماس. على الدائرة: مماس واحد. خارج الدائرة: مماسان بالضبط.

المماسات المشتركة لدائرتين

— عدد المماسات المشتركة يعتمد على موضع الدائرتين بالنسبة لبعضهما.

٤ مماسات — منفصلتان

٣ مماسات — متماستان خارجياً

٢ مماس — متقاطعتان

١ مماس — متماستان داخلياً

٠ مماس — إحداهما داخل الأخرى

القاعدة

— إذا كان $d$ المسافة بين المركزين: منفصلتان إذا $d > r_1+r_2$ ، متماستان خارجياً إذا $d = r_1+r_2$ ، متقاطعتان إذا $|r_1-r_2| < d < r_1+r_2$ ، متماستان داخلياً إذا $d = |r_1-r_2|$ .

مثال ١ — معادلة المماس عند نقطة

— المطلوب: معادلة المماس للدائرة $x^2+y^2=25$ عند النقطة $(3,4)$ .

— ميل نصف القطر $OP$ :

m_{OP} = \frac{4-0}{3-0} = \frac{4}{3}

— ميل المماس (عمودي على $OP$ ):

m = -\frac{3}{4}

— معادلة المماس:

y - 4 = -\frac{3}{4}(x-3) \implies 3x + 4y = 25

الصيغة المباشرة

— للدائرة $x^2+y^2=r^2$ عند $(x_1,y_1)$ : معادلة المماس هي $xx_1+yy_1=r^2$ .

3x + 4y = 25

مثال ٢ — طول المماس من نقطة خارجية

— المطلوب: طول المماس من النقطة $(13,0)$ إلى الدائرة $x^2+y^2=25$ .

— المسافة من النقطة إلى المركز:

d = \sqrt{13^2+0^2} = 13, \quad r = 5

— بنظرية فيثاغورس في المثلث القائم $OTP$ :

PT = \sqrt{d^2-r^2} = \sqrt{169-25} = \sqrt{144} = 12

طول المماس = 12

مثال ٣ — عدد المماسات المشتركة

— المطلوب: عدد المماسات المشتركة للدائرتين: مركز $(0,0)$ ونصف قطر $3$ ، ومركز $(8,0)$ ونصف قطر $2$ .

d = \sqrt{8^2+0^2} = 8, \quad r_1+r_2 = 5

— بما أن $d = 8 > r_1+r_2 = 5$ : الدائرتان منفصلتان تماماً.

عدد المماسات المشتركة = 4

مثال ٤ — مماس موازٍ لمستقيم

— المطلوب: مماس الدائرة $(x-2)^2+(y-3)^2=4$ الموازي للمستقيم $3x+4y=0$ .

— المركز $(2,3)$ ، $r=2$ . المماس الموازي له صورة $3x+4y=k$ .

— شرط المماسة: المسافة من المركز = نصف القطر:

\frac{|3(2)+4(3)-k|}{\sqrt{9+16}} = 2 \implies \frac{|18-k|}{5} = 2

|18-k| = 10 \implies k = 8 \quad \text{or} \quad k = 28

أي k = 8 أو k = 28

3x + 4y = 8 | 3x + 4y = 28

مثال ٥ — تطبيق عملي

— برج دائري نصف قطره 50 متراً، شخص يقف على بعد 130 متراً من المركز. ما أقصر مسافة للوصول إلى البرج؟

— أقصر مسافة = طول المماس:

\sqrt{130^2 - 50^2} = \sqrt{14400} = 120

أقصر مسافة = 120 متر

ملخص القواعد

القاعدة	الصيغة
العمودية	المماس ⊥ نصف القطر
طول المماس	PT = √(d² − r²)
معادلة المماس عند (x₁,y₁)	xx₁ + yy₁ = r²
شرط المماسة (مستقيم لدائرة)	المسافة من المركز = r

الخلاصة

— المماس: مستقيم يلامس الدائرة في نقطة واحدة، عمودي على نصف القطر عندها.

— طول المماس من نقطة خارجية: $\sqrt{d^2-r^2}$ حيث $d$ المسافة من النقطة إلى المركز.

— معادلة المماس للدائرة $x^2+y^2=r^2$ عند $(x_1,y_1)$ : هي $xx_1+yy_1=r^2$ .

— المماسات المشتركة: عددها ٤ أو ٣ أو ٢ أو ١ أو صفر حسب موضع الدائرتين.

المماسات في الدائرة

الشرح