نظريات الأوتار والقواطع

الهندسة — ثلاث حالات أساسية

الهدف: إتقان النظريات الثلاث لتقاطع الأوتار والقواطع والمماسات وتطبيقها في حل المسائل.

الحالة الأولى

وتران داخل الدائرة

الحالة الثانية

مماس وقاطع من الخارج

الحالة الثالثة

قاطعان من نقطة خارجية

وتران متقاطعان داخل الدائرة

— عند تقاطع وترين داخل الدائرة عند نقطة P، يكون حاصل ضرب جزأي كل وتر متساويًا.

AP \times PB = CP \times PD

مثال ١

— المعطيات: الأجزاء 10 و x و 5 و 12. المطلوب: إيجاد x.

12 \times 5 = 10 \times x

x = \frac{60}{10} = 6

x = 6

— مربع طول المماس يساوي حاصل ضرب الجزء الخارجي من القاطع في طوله الكامل.

t^2 = e \times s

t = المماس | e = الجزء الخارجي | s = القاطع الكامل

مثال ٢

— المعطيات: المماس = 8، الجزء الخارجي = x، الجزء الداخلي = 7.

8^2 = x(x+7)

x^2 + 7x - 64 = 0

x = \frac{-7 + \sqrt{305}}{2} \approx 5.2

x ≈ 5.2

— حاصل ضرب الجزء الخارجي في القاطع الكامل متساوٍ للقاطعَين.

e_1 \times s_1 = e_2 \times s_2

مثال ٣

— القاطع الأول: خارجي = 8، داخلي = x. القاطع الثاني: خارجي = 6، داخلي = 10.

8 \times (8 + x) = 6 \times 16

8x = 96 - 64 = 32

x = 4

x = 4

— وتران داخليان: حاصل ضرب الجزأين متساوٍ للوترين — a × b = c × d.

— مماس وقاطع: مربع المماس = الجزء الخارجي × القاطع الكامل.

— قاطعان خارجيان: حاصل الضرب ثابت لكلا القاطعين — e₁ × s₁ = e₂ × s₂.

— القاعدة الموحّدة: في كل حالة، حاصل الضرب محفوظ على طرفَي نقطة التقاطع.