تركيب الإزاحة والإنعكاس
تركيب الإزاحة والانعكاس
تركيب التحويلات الهندسية هو تطبيق أكثر من تحويل هندسي
بشكل متتالي على نفس الشكل الهندسي
مثل: إزاحة + انعكاس، أو انعكاسين متتاليين
بشكل متتالي على نفس الشكل الهندسي
مثل: إزاحة + انعكاس، أو انعكاسين متتاليين
أنواع التحويلات الهندسية:
- الإزاحة (Translation): نقل الشكل من مكان لآخر
- الانعكاس (Reflection): انعكاس الشكل حول مستقيم
- الدوران (Rotation): دوران الشكل حول نقطة
- التركيب: تطبيق أكثر من تحويل متتالي
من الشرح: "تكلمنا في الدروس السابقة عن التحويلات الهندسية، وتعرفنا على الإنعكاس، وبعدين الدوران، وبعدين الإزاحة. الآن راح نتكلم عن تركيب التحويلات الهندسية، يعني يكون عندنا أكثر من عملية هندسية."
إزاحة ثم انعكاس
المثال الأول: نقطة تتعرض لإزاحة ثم انعكاس
من الشرح: "ممكن يكون عندنا إزاحة وإنعكاس، يعني يكون عندنا مثلا نقطة هذه نسوي لها إزاحة على اليمين، وبعدين نسوي لها إنعكاس حول المستقيم اللي فوقها، فتنتقل إلى الجهة الأخرى"
1
الخطوة الأولى - الإزاحة:
نحرك النقطة على اليمين (إزاحة أفقية)
نحرك النقطة على اليمين (إزاحة أفقية)
2
الخطوة الثانية - الانعكاس:
ننعكس النقطة الجديدة حول المستقيم الأفقي فوقها
ننعكس النقطة الجديدة حول المستقيم الأفقي فوقها
النتيجة: النقطة تنتقل إلى الجهة الأخرى
المثال الثاني: مثلث في المستوى الإحداثي
من الشرح: "لو كان عندنا مثلث في المستوى الإحداثي هنا على اليمين تحت، فممكن نرفع إلى الأعلى أربع وحدات، وبعدين نسوي لها إنعكاس حول محور الواي وينتقل إلى هنا"
1
إزاحة عمودية:
نرفع المثلث إلى الأعلى 4 وحدات
نرفع المثلث إلى الأعلى 4 وحدات
2
انعكاس حول محور y:
ننعكس المثلث المرفوع حول محور y
ننعكس المثلث المرفوع حول محور y
المثلث ينتقل من الجهة اليمنى إلى الجهة اليسرى
الشكل الأصلي
→
إزاحة
→
انعكاس
→
النتيجة النهائية
انعكاسان حول مستقيمين متوازيين
نظرية الانعكاسين حول مستقيمين متوازيين
تركيب انعكاسين حول مستقيمين متوازيين
يكافئ إزاحة واحدة
مقدار الإزاحة = ضعف المسافة بين المستقيمين
يكافئ إزاحة واحدة
مقدار الإزاحة = ضعف المسافة بين المستقيمين
شرح النظرية من الدرس
من الشرح: "نبغى نسوي إنعكاسين، والإنعكاسين هذول حول مستقيمين متوازين، فنحط هنا مستقيمين متوازين، وبعدين نجيب مثلث على اليسار هنا"
1
الانعكاس الأول:
"نسوي لها الإنعكاس الأول حول المستقيم الأول، فيصير بالجهة هذه"
"نسوي لها الإنعكاس الأول حول المستقيم الأول، فيصير بالجهة هذه"
2
الانعكاس الثاني:
"وبعدين نسوي لها إنعكاس ثاني حول المستقيم الموازي، ويصير في الجهة الثانية"
"وبعدين نسوي لها إنعكاس ثاني حول المستقيم الموازي، ويصير في الجهة الثانية"
3
النتيجة:
"فالنتيجة اللي راح تصير من الإنعكاسين عبارة عن إزاحة، كأننا سوينا إزاحة للمثلث من هنا إلى هنا"
"فالنتيجة اللي راح تصير من الإنعكاسين عبارة عن إزاحة، كأننا سوينا إزاحة للمثلث من هنا إلى هنا"
النتيجة النهائية = إزاحة بمقدار ضعف المسافة بين المستقيمين
ملاحظة مهمة: "نلاحظ إن مقدار الإزاحة مرتبط بالمسافة ما بين المستقيمين اللي هم محور الإنعكاس، فلو كبرنا المسافة بينهم، راح نلاقي إن الإزاحة زادت معانا"
القانون:
مقدار الإزاحة = 2 × المسافة بين المستقيمين المتوازيين
اتجاه الإزاحة: عمودي على المستقيمين المتوازيين
مقدار الإزاحة = 2 × المسافة بين المستقيمين المتوازيين
اتجاه الإزاحة: عمودي على المستقيمين المتوازيين
تجربة تفاعلية - تأثير المسافة بين المستقيمين
غير المسافة بين المستقيمين لترى تأثيرها على مقدار الإزاحة
مقدار الإزاحة = 3.0 وحدة
انعكاسان حول مستقيمين متقاطعين
نظرية الانعكاسين حول مستقيمين متقاطعين
تركيب انعكاسين حول مستقيمين متقاطعين
يكافئ دوران واحد
مقدار الدوران = ضعف الزاوية بين المستقيمين
يكافئ دوران واحد
مقدار الدوران = ضعف الزاوية بين المستقيمين
شرح النظرية من الدرس
من الشرح: "إذا كان المستقيمين غير متوازيين، يعني نفرض عندنا هنا مثلا قطعة مستقيمة"
1
الانعكاس الأول:
"نبي نسوي لها إنعكاس على المستقيم الأول هنا"
"نبي نسوي لها إنعكاس على المستقيم الأول هنا"
2
الانعكاس الثاني:
"بعدين نسوي لها إنعكاس على المستقيم الثاني، نلاحظ إنه يتقاطع مع مستقيم الإنعكاس الأول"
"بعدين نسوي لها إنعكاس على المستقيم الثاني، نلاحظ إنه يتقاطع مع مستقيم الإنعكاس الأول"
3
النتيجة:
"نلاحظ إن النتيجة النهائية عبارة عن دوران بالنسبة للقطعة الأصلية من هنا إلى صورتها هنا"
"نلاحظ إن النتيجة النهائية عبارة عن دوران بالنسبة للقطعة الأصلية من هنا إلى صورتها هنا"
النتيجة النهائية = دوران بمقدار ضعف الزاوية بين المستقيمين
القانون:
مقدار الدوران = 2 × الزاوية بين المستقيمين المتقاطعين
مركز الدوران: نقطة تقاطع المستقيمين
اتجاه الدوران: في نفس اتجاه قياس الزاوية بين المستقيمين
مقدار الدوران = 2 × الزاوية بين المستقيمين المتقاطعين
مركز الدوران: نقطة تقاطع المستقيمين
اتجاه الدوران: في نفس اتجاه قياس الزاوية بين المستقيمين
تجربة تفاعلية - تأثير الزاوية بين المستقيمين
غير الزاوية بين المستقيمين لترى تأثيرها على مقدار الدوران
مقدار الدوران = 90°
أمثلة محلولة
مثال 1: إزاحة ثم انعكاس
المعطى: النقطة A(2, 1) تتعرض لإزاحة بالشعاع (3, 2) ثم انعكاس حول محور x
1
تطبيق الإزاحة:
A(2, 1) + (3, 2) = A₁(5, 3)
A(2, 1) + (3, 2) = A₁(5, 3)
2
تطبيق الانعكاس حول محور x:
A₁(5, 3) → A₂(5, -3)
A₁(5, 3) → A₂(5, -3)
النتيجة النهائية: A₂(5, -3)
مثال 2: انعكاسان حول مستقيمين متوازيين
المعطى: المستقيمان x = 2 و x = 6 (متوازيان)، والنقطة P(0, 3)
1
حساب المسافة بين المستقيمين:
المسافة = |6 - 2| = 4 وحدة
المسافة = |6 - 2| = 4 وحدة
2
انعكاس أول حول x = 2:
P(0, 3) → P₁(4, 3)
P(0, 3) → P₁(4, 3)
3
انعكاس ثاني حول x = 6:
P₁(4, 3) → P₂(8, 3)
P₁(4, 3) → P₂(8, 3)
4
التحقق من النظرية:
مقدار الإزاحة = P₂ - P = (8, 3) - (0, 3) = (8, 0)
|الإزاحة| = 8 = 2 × 4 ✓
مقدار الإزاحة = P₂ - P = (8, 3) - (0, 3) = (8, 0)
|الإزاحة| = 8 = 2 × 4 ✓
النتيجة: إزاحة بمقدار 8 وحدة في الاتجاه الموجب لمحور x
مثال 3: انعكاسان حول مستقيمين متقاطعين
المعطى: المستقيمان y = 0 (محور x) و y = x، والنقطة Q(4, 0)
1
حساب الزاوية بين المستقيمين:
الزاوية بين محور x والمستقيم y = x هي 45°
الزاوية بين محور x والمستقيم y = x هي 45°
2
انعكاس أول حول محور x:
Q(4, 0) → Q₁(4, 0) (لا تتغير لأنها على المحور)
Q(4, 0) → Q₁(4, 0) (لا تتغير لأنها على المحور)
3
انعكاس ثاني حول y = x:
Q₁(4, 0) → Q₂(0, 4)
Q₁(4, 0) → Q₂(0, 4)
4
التحقق من النظرية:
مقدار الدوران = 2 × 45° = 90°
النقطة Q دارت 90° حول نقطة الأصل ✓
مقدار الدوران = 2 × 45° = 90°
النقطة Q دارت 90° حول نقطة الأصل ✓
النتيجة: دوران بمقدار 90° حول نقطة الأصل
خلاصة تركيب التحويلات
تركيب التحويلات الهندسية يمكن أن ينتج عنه تحويلات جديدة
بخصائص يمكن التنبؤ بها من خلال النظريات المدروسة
بخصائص يمكن التنبؤ بها من خلال النظريات المدروسة
جدول مقارن لأنواع التركيب:
| نوع التركيب | الشروط | النتيجة | القانون |
|---|---|---|---|
| إزاحة + انعكاس | أي إزاحة + أي انعكاس | تحويل مركب | يعتمد على ترتيب التطبيق |
| انعكاسان حول مستقيمين متوازيين | المستقيمان متوازيان | إزاحة | مقدار الإزاحة = 2 × المسافة بينهما |
| انعكاسان حول مستقيمين متقاطعين | المستقيمان متقاطعان | دوران | مقدار الدوران = 2 × الزاوية بينهما |
| انعكاس + إزاحة | انعكاس أولاً ثم إزاحة | تحويل مركب | يختلف عن إزاحة + انعكاس |
تحديد نوع المستقيمين
↓
متوازيان؟
↙
إزاحة
تحديد نوع المستقيمين
↓
متوازيان؟
↘
دوران
قاعدة ذهبية: ترتيب تطبيق التحويلات مهم جداً! التحويلات الهندسية ليست تبديلية دائماً، فتطبيق إزاحة ثم انعكاس قد يعطي نتيجة مختلفة عن تطبيق انعكاس ثم إزاحة.
أخطاء شائعة:
- الخلط في ترتيب تطبيق التحويلات
- نسيان أن الزاوية في نظرية الدوران تُضاعف
- عدم التمييز بين المستقيمين المتوازيين والمتقاطعين
- عدم تحديد اتجاه الدوران بشكل صحيح
انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات
👨💻
جاري تحميل التعليقات...