المضلعات و زواياها الداخلية و الخارجية

ملخص
زوايا المضلعات في خمس نقاط
مجموع الزوايا الداخلية لأي مضلع عدد أضلاعه : .
لماذا؟ لأن المضلع ينقسم إلى مثلثاً، ومجموع زوايا كل مثلث .
مجموع الزوايا الخارجية = دائماً، مهما كان عدد الأضلاع.
في المضلع المنتظم: كل زاوية داخلية = وكل زاوية خارجية = .
الداخلية + الخارجية عند الرأس نفسه = ، وكلما زاد اقتربت الداخلية من .
قانون
مجموع الزوايا الداخلية
A B C D E 1 2 3 قطران من رأس واحد: ثلاثة مثلثات
مجموع الزوايا الداخلية لمضلع عدد أضلاعه n يساوي (n − 2) × 180°.
الخماسي في الشكل ينقسم من الرأس إلى ثلاثة مثلثات، فمجموع زواياه . القاعدة تصلح لأي مضلع، منتظم أو غير منتظم.
لماذا؟
من أين جاء العدد (n − 2)؟
من رأس واحد نرسم كل الأقطار الممكنة، فيتقسم المضلع إلى مثلثات عددها أقل من عدد الأضلاع باثنين.
• المثلث : مثلث واحد ← .
• الرباعي : مثلثان ← .
• الخماسي : ثلاثة مثلثات ← .
كل ضلع نضيفه يضيف مثلثاً جديداً، أي أخرى إلى المجموع.
قانون
مجموع الزوايا الخارجية
A B C D E الزوايا الخارجية الخمس مجموعها 360°
مجموع الزوايا الخارجية لأي مضلع يساوي 360° دائماً.
الخارجية
الزاوية الخارجية عند رأس هي الزاوية بين أحد الضلعين وامتداد الضلع الآخر. لو سرت على محيط المضلع ودرت عند كل رأس بمقدار زاويته الخارجية، فإنك تعود إلى اتجاهك الأول بعد دورة كاملة، أي ، مهما كان عدد الأضلاع.
قاعدة
المضلع المنتظم: كل زاوية على حدة
120° 60° A C D E F داخلية 120° وخارجية 60°
في المضلع المنتظم كل الزوايا متساوية، فنقسم المجموع على عدد الأضلاع.
كل زاوية داخليةكل زاوية خارجية
وعند كل رأس: الزاوية الداخلية + الزاوية الخارجية = لأنهما على مستقيم واحد. في السداسي المنتظم: و ، ومجموعهما .
نموذج تفاعلي
غيّر عدد الأضلاع وراقب الزاوية الداخلية والخارجية عند الرأس A
A B C D E
عدد الأضلاع 5
قاعدة
جدول الزوايا للمضلعات الشائعة
الشكلمجموع الداخليةكل زاوية داخليةكل زاوية خارجية
مثلث3
مربع4
خماسي5
سداسي6
ثماني8
عشاري10
لاحظ: مجموع الداخلية يزداد مع ، ومجموع الخارجية ثابت ، والزاوية الداخلية للمنتظم تقترب من كلما زاد .
مثال 1: مجموع زوايا السداسي
المطلوب: مجموع الزوايا الداخلية لسداسي (منتظم أو غير منتظم).
مثال 2: زاوية الثماني المنتظم
المطلوب: قياس كل زاوية داخلية وكل زاوية خارجية في ثماني منتظم.
الداخليةالخارجية
تحقق:
مثال 3: زاوية مجهولة في رباعي
80° 95° 110° x A B C D
المعطيات: رباعي زواياه و و و .
الحل: مجموع زوايا الرباعي :
مثال 4: من الزاوية الخارجية إلى عدد الأضلاع
المعطيات: مضلع منتظم كل زاوية خارجية فيه . المطلوب: عدد أضلاعه.
الحل: مجموع الخارجية موزعة بالتساوي:
فهو تساعي منتظم، وكل زاوية داخلية فيه .
المضلعاتمجموع الزوايا الداخليةالزوايا الخارجية للمضلعالمضلع المنتظمالهندسةأول ثانوي
جاري تحميل التعليقات...

عن هذا الدرس

زوايا المضلعات: مجموع الزوايا الداخلية (n−2)×180° ولماذا، مجموع الزوايا الخارجية 360° دائماً، وكل زاوية في المضلع المنتظم، مع نموذج تفاعلي وجدول للمضلعات… هذا الدرس ضمن الفصل الثاني لمنهج الثانوية أول ثانوي في أكاديمية موسى.

دروس ذات صلة