التحويلات الهندسية مع دوال القيمة المطلقة

في نهاية هذا الدرس، ستكون قادراً على:

التمييز بين حالتي القيمة المطلقة على الدالة الكاملة أو على المتغير x
رسم تحويلات القيمة المطلقة على كامل المعادلة
رسم تحويلات القيمة المطلقة على المتغير x فقط
فهم أثر القيمة المطلقة على خصائص الدالة

الحالتان الأساسيتان للقيمة المطلقة

عند التعامل مع القيمة المطلقة في الدوال، لدينا حالتان مختلفتان تماماً:

الحالة الأولى

القيمة المطلقة على كامل المعادلة

$|f(x)|$

مثال: $|\sin x|$

مثال: $|x^3 - 4x|$

الحالة الثانية

القيمة المطلقة على المتغير x فقط

$f(|x|)$

مثال: $\sin(|x|)$

مثال: $|x|^3 - 4|x|$

مهم جداً: كل حالة لها طريقة رسم مختلفة تماماً، ويجب التمييز بينهما!

الحالة الأولى: |f(x)| - القيمة المطلقة على كامل المعادلة

نرسم الدالة الأصلية f(x) كما هي

نحدد الأجزاء السالبة (تحت محور x)

نعكس الأجزاء السالبة حول محور x إلى الأعلى

اختر دالة لرؤية تأثير |f(x)|:

الدالة: sin(x) | بعد القيمة المطلقة: |sin(x)| - الأجزاء السالبة انعكست للأعلى

الحالة الثانية: f(|x|) - القيمة المطلقة على المتغير x

نرسم الدالة للقيم الموجبة من x فقط (الجهة اليمنى)

ننسى الجهة اليسرى تماماً

نعكس الرسمة حول محور y (نطابقها على الجهة اليسرى)

اختر دالة لرؤية تأثير f(|x|):

الدالة: sin(x) | بعد التحويل: sin(|x|) - الدالة أصبحت زوجية (متناظرة حول محور y)

لماذا f(|x|) تجعل الدالة زوجية؟

التفسير الرياضي:

القيمة المطلقة تلغي الإشارة السالبة، فـ:

$|-x| = |x|$
لذلك: $f(|-x|) = f(|x|)$
وهذا تعريف الدالة الزوجية!

عندما نستبدل x بـ |x|، فإن:

القيمة عند x = 2 تساوي القيمة عند x = -2
القيمة عند x = 5 تساوي القيمة عند x = -5
وهكذا لجميع القيم

النتيجة: دائماً عندما نفرض القيمة المطلقة على x فقط، تصبح الدالة زوجية (متناظرة حول محور y). إذا طوينا المستوى على محور y، سيتطابق الجانب الأيمن مع الأيسر تماماً!

حالة خاصة: عندما لا تؤثر القيمة المطلقة

إذا كانت الدالة بأكملها موجبة (فوق محور x)، فإن |f(x)| لن تغير شيئاً!

مثال: sin(x) + 2

بما أن sin(x) محصورة بين -1 و 1، فإن sin(x) + 2 محصورة بين 1 و 3.

جميع القيم موجبة، لذلك |sin(x) + 2| = sin(x) + 2

نلاحظ أن الدالة sin(x) + 2 (الخط الأزرق) و |sin(x) + 2| (النقاط الحمراء) متطابقتان تماماً لأن الدالة موجبة دائماً

أمثلة محلولة

مثال 1: ارسم الدالة |x² - 9|

إذا كانت f(x) = x² - 9، ارسم الدالة |f(x)|

مثال 2: ارسم الدالة sin(|x|)

إذا كانت f(x) = sin(x)، ارسم الدالة f(|x|)

مثال 3: قارن بين |x³ - x| و (|x|)³ - |x|

وضح الفرق بين الدالتين برسمهما

التحويلات الهندسية مع دوال القيمة المطلقة

في نهاية هذا الدرس، ستكون قادراً على:

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات