الدوال الرئيسة (الأم)

الدوال الأساسية

Main Mathematical Functions - الدوال الأكثر تكراراً في الهندسة والتطبيقات الفيزيائية

مقدمة عن الدوال الأساسية

في هذا الدرس سنتكلم عن الدوال الأشهر أو الدوال الرئيسية وهي الدوال الأكثر تكراراً في عالم الهندسة والتطبيقات الفيزيائية.

هذه الدوال تشكل الأساس لفهم الرياضيات المتقدمة وتطبيقاتها في العلوم المختلفة.

1. الدالة الثابتة - Constant Function

f(x) = c

التعريف: الدالة التي تعطي نفس القيمة بغض النظر عن قيمة المتغير المستقل x.

مثال: f(x) = 5 أو f(x) = -10 أو f(x) = 1000

المجال

(-∞, +∞)

المدى

\{c\}

🔄 التماثل

دالة زوجية: f(x) = f(-x) لأن كلاهما يساوي العدد الثابت c

مثال عملي: طول المبنى دائماً ثابت بغض النظر عن الوقت.

2. الدالة المحايدة - Identity Function

f(x) = x

التعريف: الدالة التي تُرجع نفس قيمة المدخل، بحيث تكون قيمة x و y دائماً متساوية.

عندما x = 1 فإن y = 1، وعندما x = 10 فإن y = 10

المجال

(-∞, +∞)

المدى

(-∞, +∞)

🔄 التماثل

دالة فردية: f(x) = -f(-x) وتناظر حول نقطة الأصل

الخصائص: خط مستقيم يمر بين محوري x و y وينصف الربع الأول والثالث.

3. الدالة التربيعية - Quadratic Function

f(x) = x^2

التعريف: الدالة التي تربع قيمة المدخل، مما يلغي الإشارة السالبة ويغير العلاقة بين x و y.

عندما x = 2 فإن y = 4، وعندما x = 5 فإن y = 25

المجال

(-∞, +∞)

المدى

[0, +∞)

🔄 التماثل

دالة زوجية: f(x) = f(-x) لأن (-2)^2 = 2^2 = 4

الخصائص: منحنى على شكل حرف U يتسارع بشكل أكبر من الدالة المحايدة، والتربيع يلغي الجزء السالب.

4. الدالة التكعيبية - Cubic Function

f(x) = x^3

التعريف: الدالة التي ترفع قيمة المدخل للقوة الثالثة. الأس فردي فلا يلغي السالب، بل يضعفه.

عندما x = 2 فإن y = 8، وعندما x = 5 فإن y = 125

المجال

(-∞, +∞)

المدى

(-∞, +∞)

🔄 التماثل

دالة فردية: f(-x) = -f(x) وتناظر حول نقطة الأصل

الخصائص: تسارع أكبر من الدالة التربيعية، والجزء السالب ينزل إلى السالب بنفس التسارع.

5. دالة الجذر التربيعي - Square Root Function

f(x) = \sqrt{x}, x ≥ 0

التعريف: الدالة التي تأخذ الجذر التربيعي للمدخل، مع الشرط أن x ≥ 0.

عندما x = 4 فإن y = 2، وعندما x = 9 فإن y = 3

المجال

[0, +∞)

المدى

[0, +∞)

⚠️ قيود المجال

لماذا x ≥ 0؟ لأننا لا نستطيع أخذ الجذر التربيعي للأعداد السالبة في الأعداد الحقيقية

الخصائص: منحنى متزايد ولكن بشكل بطيء، ويتجه إلى ما لا نهاية.

مقارنة بين الدوال الأساسية

الدالة الصيغة المجال المدى النوع (زوجية/فردية) الاتصال
الثابتة f(x) = c (-∞, +∞) \{c\} زوجية متصلة في كل مكان
المحايدة f(x) = x (-∞, +∞) (-∞, +∞) فردية متصلة في كل مكان
التربيعية f(x) = x^2 (-∞, +∞) [0, +∞) زوجية متصلة في كل مكان
التكعيبية f(x) = x^3 (-∞, +∞) (-∞, +∞) فردية متصلة في كل مكان
الجذر التربيعي f(x) = \sqrt{x} [0, +∞) [0, +∞) لا زوجية ولا فردية متصلة عند x ≥ 0

📐 الدوال الزوجية والفردية

الدوال الزوجية (Even Functions):
  • التعريف: f(x) = f(-x)
  • التماثل: متماثلة حول المحور y
  • اختبار التماثل: إذا طوينا المستوى عند محور y ينطبق المنحنى في الجهة اليمنى مع الجهة اليسرى
  • أمثلة: الدالة الثابتة، الدالة التربيعية
الدوال الفردية (Odd Functions):
  • التعريف: f(x) = -f(-x)
  • التماثل: متماثلة حول نقطة الأصل
  • خاصية: قيمة الدالة عند x تساوي عكس قيمتها عند -x
  • أمثلة: الدالة المحايدة، الدالة التكعيبية

مقارنة معدل التسارع بين الدوال

📈 تحليل معدل النمو

دعونا نقارن كيف تتصرف الدوال عند نقاط مختلفة:

قيمة x المحايدة x التربيعية x^2 التكعيبية x^3 الجذر \sqrt{x}
x = 1 1 1 1 1
x = 2 2 4 8 ≈ 1.41
x = 5 5 25 125 ≈ 2.24
x = 10 10 100 1000 ≈ 3.16

ملاحظات مهمة:

  • الدالة التكعيبية تنمو أسرع من التربيعية
  • دالة الجذر التربيعي تنمو ببطء
  • الدالة المحايدة تنمو بمعدل ثابت
  • في الجزء السالب: التكعيبية تذهب للسالب، والتربيعية تبقى موجبة

الاتصال في الدوال

مفهوم الاتصال في الدوال الأساسية

الدوال الأربع الأولى (الثابتة، المحايدة، التربيعية، التكعيبية) كلها متصلة من سالب ما لا نهاية إلى موجب ما لا نهاية.

دالة الجذر التربيعي متصلة فقط عند x ≥ 0 لأننا لا نستطيع أخذ الجذر التربيعي للأعداد السالبة في الأعداد الحقيقية.

⚠️ لماذا الجذر التربيعي محدود؟

إذا كانت x سالبة، لا نستطيع إخراج الجذر التربيعي للعدد السالب، وسيطلع معنا أعداد غير حقيقية (أعداد تخيلية) التي سندرسها لاحقاً.

ملخص الخصائص الأساسية

معايير تصنيف الدوال:

  • المجال والمدى: نطاق قيم x المسموحة ونطاق قيم y الممكنة
  • التماثل: زوجية (حول المحور y) أم فردية (حول الأصل)
  • الاتصال: هل الدالة متصلة في جميع النقاط؟
  • معدل النمو: كيف تتصرف الدالة عند القيم الكبيرة؟

تطبيقات عملية:

  • الدالة الثابتة: القوانين الفيزيائية الثابتة، المعدلات الثابتة
  • الدالة المحايدة: العلاقات الخطية المباشرة، التناسب الطردي
  • الدالة التربيعية: الحركة تحت تأثير الجاذبية، المساحات
  • الدالة التكعيبية: حساب الحجوم، النمو السريع
  • دالة الجذر: حساب الأطوال، النمو البطيء

نصائح للدراسة:

  • ارسم الدوال بيدك لفهم سلوكها بصرياً
  • احفظ النقاط المهمة مثل (0,0)، (1,1)، (2,4) للتربيعية
  • انتبه لقيود المجال خاصة في دالة الجذر
  • تذكر خصائص التماثل لتسهيل الرسم والفهم

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
جاري تحميل التعليقات...