العلاقات والدوال العكسية

الدوال العكسية

الدالة العكسية تقوم بعكس مفعول الدالة الأصلية، وتوجد علاقة تماثل بينهما حول الخط y = x

مراجعة: ما هي الدالة؟

تعريف الدالة

الدالة هي علاقة بين متغيرين:

المتغير المستقل (x): يكون على المحور الأفقي
المتغير التابع (y): يكون على المحور العمودي
اختبار الخط الرأسي: لكل قيمة على المتغير المستقل يقابلها قيمة واحدة فقط على المتغير التابع

إذا اجتازت العلاقة اختبار الخط الرأسي، فهي تمثل دالة.

مفهوم الدالة العكسية

التعريف

الدالة العكسية تقوم بعكس مفعول الدالة الأصلية
أمثلة بسيطة:

• إذا كانت الدالة الأصلية f(x) = x² (تربع العدد)

فالدالة العكسية f⁻¹(x) = √x (الجذر التربيعي)

• إذا كانت الدالة الأصلية f(x) = 2x (ضرب في 2)

فالدالة العكسية f⁻¹(x) = x/2 (قسمة على 2)

المفهوم الأساسي: إذا أخذنا مدخلاً وضعناه في الدالة الأصلية، ثم أخذنا المخرج وضعناه في الدالة العكسية، سنرجع إلى نقطة البداية.

أمثلة محلولة

الدالة f(x) = 2x والدالة العكسية f⁻¹(x) = x/2

اختبار العكس:

نأخذ العدد 4 كمدخل

تطبيق الدالة الأصلية:
f(4) = 2 \times 4 = 8
تطبيق الدالة العكسية على النتيجة:
f^{-1}(8) = \frac{8}{2} = 4
النتيجة: رجعنا إلى الرقم الأصلي 4!

العلاقة البيانية بين الدالة ودالتها العكسية

التماثل حول الخط y = x

y = x f(x) = 2x f⁻¹(x) = x/2
خاصية التماثل: منحنى الدالة العكسية هو انعكاس لمنحنى الدالة الأصلية حول الخط y = x

اختبار الخط الأفقي

الفرق بين الاختبارين

اختبار الخط الرأسي

الغرض: تحديد إذا كانت العلاقة تمثل دالة أم لا

الشرط: لكل قيمة x قيمة واحدة فقط من y

لكل x → قيمة واحدة من y

اختبار الخط الأفقي

الغرض: تحديد إذا كانت للدالة دالة عكسية أم لا

الشرط: لكل قيمة x قيمة مختلفة من y

لكل x → قيمة مختلفة من y
العلاقة One-to-One: كل قيمة على المتغير x يقابلها قيمة مختلفة على المتغير y. كلمة "مختلفة" هي المفتاح هنا ومهمة جداً!

أمثلة على اختبار الخط الأفقي

مثال 1: الدالة الثابتة y = 5

الملاحظة:

كل قيمة على x تعطي نفس الرقم 5

f(1) = 5, f(2) = 5, f(3) = 5, f(100) = 5
النتيجة:

تجتاز اختبار الخط الرأسي ✓ (هي دالة)

لا تجتاز اختبار الخط الأفقي ✗ (لا توجد دالة عكسية)

مثال 2: الدالة الخطية y = 2x

الملاحظة:

كل قيمة على x تعطي قيمة مختلفة على y

f(1) = 2, f(2) = 4, f(3) = 6, f(4) = 8
النتيجة:

تجتاز اختبار الخط الرأسي ✓ (هي دالة)

تجتاز اختبار الخط الأفقي ✓ (لها دالة عكسية)

مثال واقعي: التحويل بين العملات

التحويل بين الريال السعودي والدولار الأمريكي

الدالة الأصلية:

المدخل: ريال سعودي → المخرج: دولار أمريكي

f(x) = \frac{x}{3.75}

الميل = 1/3.75 ≈ 0.267

الدالة العكسية:

المدخل: دولار أمريكي → المخرج: ريال سعودي

f^{-1}(x) = 3.75x

الميل = 3.75

أسئلة مختلفة:

• الدالة الأصلية تجيب: "إذا عندي 100 ريال، كم دولار؟"

• الدالة العكسية تجيب: "إذا عندي دولار واحد، كم ريال؟"

y = x ريال → دولار دولار → ريال
التماثل: المنحنيان متماثلان حول الخط y = x

شروط وجود الدالة العكسية

الشرط الأساسي

شرط اختبار الخط الأفقي: لكي تكون للدالة دالة عكسية، يجب أن تجتاز الدالة الأصلية اختبار الخط الأفقي
معنى اختبار الخط الأفقي:

كل قيمة على المحور x يقابلها قيمة مختلفة على المحور y

هذا يسمى علاقة One-to-One

دوال تجتاز الاختبار:

• y = x (الدالة الخطية البسيطة)

• y = 2x (الدوال الخطية بشكل عام)

• y = x³ (الدوال التكعيبية)

• الجزء الموجب من y = x²

دوال لا تجتاز الاختبار:

• y = 5 (الدوال الثابتة)

• y = x² (الدالة التربيعية الكاملة)

• y = |x| (دالة القيمة المطلقة)

اختبر فهمك!

اختر مثالاً لترى كيفية تحديد وجود الدالة العكسية:

ملخص الدرس

  • الدالة العكسية: تعكس مفعول الدالة الأصلية وترجعك لنقطة البداية
  • الرمز: نكتب الدالة العكسية كـ f⁻¹(x)
  • التماثل البياني: منحنى الدالة العكسية متماثل مع الأصلية حول y = x
  • شرط الوجود: يجب أن تجتاز الدالة الأصلية اختبار الخط الأفقي
  • اختبار الخط الأفقي: كل x يقابلها y مختلفة (علاقة One-to-One)
  • الفرق عن اختبار الخط الرأسي: الرأسي للدوال، الأفقي للدوال العكسية
  • مثال عملي: تحويل العملات يوضح العلاقة بين الدالة ودالتها العكسية

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
الدرس السابق
116
الدرس التالي
جاري تحميل التعليقات...