العمليات على الدوال وتركيب دالتين

العمليات على الدوال وتركيب الدوال

يمكن إجراء عمليات حسابية على الدوال (جمع، طرح، ضرب، قسمة) كما يمكن تركيب دالة مع أخرى

العمليات الأساسية على الدوال

الشرط الأساسي

شرط مهم: لإجراء العمليات على الدوال، يجب أن يكون هناك تقاطع في مجال الدالتين. إذا كان مجال كل دالة مختلف، فكأن كل واحدة في عالم مختلف فلا يمكن جمعها أو طرحها أو ضربها أو قسمتها.

مثال أساسي

f(x) = x^2
g(x) = \sin x + x

الجمع

(f + g)(x) = f(x) + g(x)
= x^2 + \sin x + x

نجمع الدالتين مباشرة

الطرح

(f - g)(x) = f(x) - g(x)
= x^2 - (\sin x + x)
= x^2 - \sin x - x

علامة السالب تؤثر على كامل الدالة g(x)

الضرب

(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)
= x^2 \cdot (\sin x + x)
= x^2 \sin x + x^3

نضرب الدالة الأولى في الثانية بالكامل

القسمة

\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}
= \frac{x^2}{\sin x + x}
شرط القسمة: g(x) ≠ 0 لتجنب القسمة على صفر

تركيب الدوال (Function Composition)

المفهوم الأساسي

تركيب الدوال هو "دالة للدالة نفسها"، أي تطبيق دالة على نتيجة دالة أخرى

x
→
g(x)
→
f(g(x))
(f \circ g)(x) = f(g(x))
نقرأ الرمز f ∘ g كـ "f تركيب g"

أمثلة محلولة على تركيب الدوال

المثال الأول: f ∘ g

المعطيات:
f(x) = x^2
g(x) = \sin x + x
المطلوب:

إيجاد (f ∘ g)(x) = f(g(x))

الحل:

نأخذ f(x) = x² ونستبدل كل x بـ g(x) كاملة

f(g(x)) = (g(x))^2 = (\sin x + x)^2

نفك القوس التربيعي:

= \sin^2 x + 2x\sin x + x^2

المثال الثاني: g ∘ f

نفس الدالتين، لكن بترتيب مختلف:

نأخذ g(x) = sin x + x ونستبدل كل x بـ f(x) كاملة

g(f(x)) = \sin(f(x)) + f(x)
= \sin(x^2) + x^2
ملاحظة مهمة: f ∘ g ≠ g ∘ f في معظم الحالات! ترتيب التركيب مهم جداً.

المثال الثالث: مثال متقدم

المعطيات:
g(x) = x - 4
f(x) = x^2 + 1
إيجاد f(g(x)):

نأخذ f(x) = x² + 1 ونستبدل كل x بـ g(x) = x - 4

f(g(x)) = (x - 4)^2 + 1

نفك القوس التربيعي:

= x^2 - 8x + 16 + 1
= x^2 - 8x + 17
إيجاد g(f(x)):

نأخذ g(x) = x - 4 ونستبدل كل x بـ f(x) = x² + 1

g(f(x)) = (x^2 + 1) - 4
= x^2 + 1 - 4
= x^2 - 3

خطوات تركيب الدوال

الخطوات المنهجية

الخطوة 1: حدد الدالة الخارجية والداخلية

في f(g(x)): f هي الخارجية، g هي الداخلية

الخطوة 2: اكتب الدالة الخارجية

اكتب f(x) كما هي مكتوبة

الخطوة 3: استبدل كل x في الدالة الخارجية بالدالة الداخلية كاملة

ضع g(x) مكان كل x في f(x)

الخطوة 4: بسط النتيجة

فك الأقواس واجمع الحدود المتشابهة

اختبر فهمك!

اختر مثالاً لترى خطوات الحل التفصيلية:

ملخص الدرس

  • العمليات على الدوال: يمكن جمع وطرح وضرب وقسمة الدوال مباشرة
  • شرط العمليات: يجب وجود تقاطع في مجال الدالتين
  • شرط القسمة: المقام (الدالة في المقام) لا يساوي صفر
  • تركيب الدوال: f(g(x)) يعني تطبيق الدالة f على نتيجة الدالة g
  • ترتيب التركيب: f ∘ g ≠ g ∘ f في معظم الحالات
  • خطوات التركيب: استبدال كل x في الدالة الخارجية بالدالة الداخلية كاملة

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
الدرس السابق
60
الدرس التالي
جاري تحميل التعليقات...