تجربة ذات الحدين

ما هي تجربة ذات الحدين؟

تجربة ذات الحدين هي تجربة لها احتمالان فقط: نجاح أو فشل
نكرر هذه التجربة عدد معين من المرات بنفس الظروف

صورة

أو

كتابة

شروط تجربة ذات الحدين

يجب توفر الشروط التالية:

✅ نتيجتان فقط: نجاح أو فشل
✅ عدد ثابت من المحاولات: نرمز لها بـ $n$
✅ الاحتماليات ثابتة: $P$ و $Q$ لا تتغير
✅ المحاولات مستقلة: كل محاولة لا تؤثر على الأخرى

قانون تجربة ذات الحدين

القانون الأساسي:

P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}

حيث:

n

= عدد المحاولات

k

= عدد النجاحات المطلوب

p

= احتمالية النجاح في المحاولة الواحدة

q = 1 - p

= احتمالية الفشل

\binom{n}{k}

= التوافيق

تذكر: قانون التوافيق

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

مثال تطبيقي بسيط

مثال: رمي العملة المعدنية

المسألة: نرمي عملة معدنية 6 مرات. ما احتمالية الحصول على الصورة 3 مرات بالضبط؟

الخطوة 1: تحديد المتغيرات

n = 6

(عدد المحاولات)

k = 3

(عدد النجاحات المطلوب)

p = \frac{1}{2}

(احتمالية الصورة)

q = \frac{1}{2}

(احتمالية الكتابة)

الخطوة 2: تطبيق القانون

P(X = 3) = \binom{6}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{6-3}

الخطوة 3: حساب التوافيق

\binom{6}{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{720}{6 \times 6} = 20

الخطوة 4: الحساب النهائي

P(X = 3) = 20 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 20 \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8} = \frac{20}{64} = \frac{5}{16}

الجواب:

P(X = 3) = \frac{5}{16} = 0.3125 = 31.25\%

ستة أمثلة محلولة

المثال الأول: النرد

المسألة: نرمي نرداً عادياً 4 مرات. ما احتمالية الحصول على الرقم 6 مرتين بالضبط؟

تحديد المتغيرات

n = 4

،

k = 2

،

p = \frac{1}{6}

،

q = \frac{5}{6}

تطبيق القانون

P(X = 2) = \binom{4}{2} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2

الحساب

\binom{4}{2} = 6

P(X = 2) = 6 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{25}{36} = \frac{150}{1296} = \frac{25}{216}

الجواب:

P(X = 2) = \frac{25}{216} \approx 0.1157 = 11.57\%

المثال الثاني: الامتحان

المسألة: طالب يخمن 5 أسئلة اختيار من متعدد، كل سؤال له 4 خيارات. ما احتمالية أن يجيب بشكل صحيح على 3 أسئلة؟

تحديد المتغيرات

n = 5

،

k = 3

،

p = \frac{1}{4}

،

q = \frac{3}{4}

تطبيق القانون

P(X = 3) = \binom{5}{3} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^3 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2

الحساب

\binom{5}{3} = 10

P(X = 3) = 10 \cdot \frac{1}{64} \cdot \frac{9}{16} = \frac{90}{1024} = \frac{45}{512}

الجواب:

P(X = 3) = \frac{45}{512} \approx 0.0879 = 8.79\%

المثال الثالث: كرة السلة

المسألة: لاعب كرة سلة احتمالية تسجيله للرمية الحرة 80%. إذا رمى 6 رميات حرة، ما احتمالية أن يسجل 5 رميات؟

تحديد المتغيرات

n = 6

،

k = 5

،

p = 0.8

،

q = 0.2

تطبيق القانون

P(X = 5) = \binom{6}{5} \cdot (0.8)^5 \cdot (0.2)^1

الحساب

\binom{6}{5} = 6

P(X = 5) = 6 \cdot 0.32768 \cdot 0.2 = 0.393216

الجواب:

P(X = 5) = 0.3932 = 39.32\%

المثال الرابع: إنتاج المصنع

المسألة: مصنع ينتج قطع غيار، 95% منها سليمة. إذا فحصنا 8 قطع عشوائياً، ما احتمالية أن تكون جميعها سليمة؟

تحديد المتغيرات

n = 8

،

k = 8

،

p = 0.95

،

q = 0.05

تطبيق القانون

P(X = 8) = \binom{8}{8} \cdot (0.95)^8 \cdot (0.05)^0

الحساب

\binom{8}{8} = 1

P(X = 8) = 1 \cdot (0.95)^8 \cdot 1 = 0.6634

الجواب:

P(X = 8) = 0.6634 = 66.34\%

المثال الخامس: الطيران

المسألة: احتمالية تأخر الطائرة 15%. إذا سافرت 10 مرات، ما احتمالية أن تتأخر الطائرة مرتين أو أقل؟

تحديد المتغيرات

n = 10

،

p = 0.15

،

q = 0.85

نريد

P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

حساب

P(X = 0)

P(X = 0) = \binom{10}{0} \cdot (0.15)^0 \cdot (0.85)^{10} = 1 \cdot 1 \cdot 0.1969 = 0.1969

حساب

P(X = 1)

و

P(X = 2)

P(X = 1) = 10 \cdot 0.15 \cdot (0.85)^9 = 0.3474

P(X = 2) = 45 \cdot (0.15)^2 \cdot (0.85)^8 = 0.2759

الحساب النهائي

P(X \leq 2) = 0.1969 + 0.3474 + 0.2759 = 0.8202

الجواب:

P(X \leq 2) = 0.8202 = 82.02\%

المثال السادس: الأدوية

المسألة: دواء جديد فعاليته 70%. إذا أعطي لـ 12 مريض، ما احتمالية أن يشفى أكثر من 8 مرضى؟

تحديد المتغيرات

n = 12

،

p = 0.7

،

q = 0.3

نريد

P(X > 8) = P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12)

حساب كل احتمالية

P(X = 9) = \binom{12}{9} \cdot (0.7)^9 \cdot (0.3)^3 = 220 \cdot 0.04037 \cdot 0.027 = 0.2397

P(X = 10) = \binom{12}{10} \cdot (0.7)^{10} \cdot (0.3)^2 = 66 \cdot 0.02825 \cdot 0.09 = 0.1678

إكمال الحساب

P(X = 11) = 12 \cdot (0.7)^{11} \cdot 0.3 = 0.0712

P(X = 12) = 1 \cdot (0.7)^{12} \cdot 1 = 0.0138

الحساب النهائي

P(X > 8) = 0.2397 + 0.1678 + 0.0712 + 0.0138 = 0.4925

الجواب:

P(X > 8) = 0.4925 = 49.25\%

حاسبة تجربة ذات الحدين

جرب بنفسك!

اختر قيم مختلفة وشاهد كيف تتغير النتائج

عدد المحاولات (n): عدد النجاحات (k): احتمالية النجاح (p):

اضغط "احسب الاحتمالية" لرؤية النتيجة

ملخص القوانين المهمة

الرمز	المعنى	القانون/القيمة
$P(X = k)$	احتمالية الحصول على k نجاح	$\binom{n}{k} p^k q^{n-k}$
$\binom{n}{k}$	التوافيق	$\frac{n!}{k!(n-k)!}$
$p + q$	مجموع الاحتماليات	$1$
$E(X)$	القيمة المتوقعة	$np$
$Var(X)$	التباين	$npq$