تمثيل الأعداد المركبة في الإحداثيات الديكارتية والقطبية

الأعداد المركبة والمستوى المركب الأعداد المركبة والمستوى المركب

الأعداد المركبة والمستوى المركب

أهداف الدرس

  • فهم مفهوم الوحدة التخيلية i والجذر التربيعي للسالب واحد
  • تمثيل الأعداد المركبة في المستوى المركب
  • التحويل بين الصيغة الديكارتية والصيغة القطبية
  • تطبيق عمليات الضرب والقسمة باستخدام الصيغة القطبية

مقدمة

الأعداد المركبة هي امتداد للأعداد الحقيقية يتيح لنا حل معادلات مثل x² = -1. هذا الامتداد ليس مجرد فكرة رياضية مجردة، بل له تطبيقات واسعة في الهندسة الكهربائية، الفيزياء، ومعالجة الإشارات.

السؤال الأساسي: ما هو الجذر التربيعي للعدد -1؟ في نظام الأعداد الحقيقية، هذا السؤال ليس له إجابة. لكن الأعداد المركبة تعطينا الحل!

1الوحدة التخيلية i

تعريف الوحدة التخيلية

i = \sqrt{-1}
i^2 = -1

حيث i × i = -1

فهم الدوران في المستوى

مفهوم الضرب في i كدوران

المفهوم الأساسي:

الضرب في i مرة واحدة = دوران 90°
الضرب في i مرتين = دوران 180° = -1

2تعريف الأعداد المركبة

العدد المركب هو عدد من الشكل

z = x + yi

حيث x = الجزء الحقيقي، y = الجزء التخيلي

المستوى المركب التفاعلي

3.0
4.0

تمثيل الأعداد المركبة في المستوى

التحويل بين الصيغتين

الصيغة الديكارتية
3.0 + 4.0i
الصيغة القطبية
5.0(cos 53.1° + i sin 53.1°)

3الصيغة القطبية

أي عدد مركب يمكن كتابته بالصيغة القطبية

z = |z|(\cos \theta + i \sin \theta)
|z| = \sqrt{x^2 + y^2}
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)

عمليات الضرب والقسمة

محاكاة عمليات الأعداد المركبة

مزايا الصيغة القطبية

الضرب: نضرب القيم المطلقة ونجمع الزوايا

القسمة: نقسم القيم المطلقة ونطرح الزوايا

القوى: نرفع القيمة المطلقة للقوة ونضرب الزاوية في الأس (نظرية ديمواهفر)

أمثلة محلولة
التحويل إلى الصيغة القطبية
1.
حول العدد المركب z = 3 + 4i إلى الصيغة القطبية.
الحل:
المعطيات:
• x = 3، y = 4

حساب القيمة المطلقة:
|z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5


حساب الزاوية:
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) = 53.13°


الصيغة القطبية:
z = 5(\cos 53.13° + i \sin 53.13°)
ضرب الأعداد المركبة
2.
أوجد حاصل ضرب z₁ = 2(cos 30° + i sin 30°) و z₂ = 3(cos 45° + i sin 45°).
الحل:
المعطيات:
• z₁ = 2(cos 30° + i sin 30°)
• z₂ = 3(cos 45° + i sin 45°)

قانون ضرب الأعداد المركبة:
عند ضرب عددين مركبين في الصيغة القطبية:
• نضرب القيم المطلقة: 2 × 3 = 6
• نجمع الزوايا: 30° + 45° = 75°

النتيجة:
z_1 \times z_2 = 6(\cos 75° + i \sin 75°)
نظرية ديمواهفر
3.
أوجد (1 + i)⁸ باستخدام نظرية ديمواهفر.
الحل:
تحويل إلى الصيغة القطبية:
• |1 + i| = √(1² + 1²) = √2
• θ = tan⁻¹(1/1) = 45°
• إذن: 1 + i = √2(cos 45° + i sin 45°)

تطبيق نظرية ديمواهفر:
(1 + i)^8 = (\sqrt{2})^8(\cos(8 \times 45°) + i \sin(8 \times 45°))


الحساب:
• (√2)⁸ = 2⁴ = 16
• 8 × 45° = 360° = 0° (دورة كاملة)

النتيجة:
(1 + i)^8 = 16(\cos 0° + i \sin 0°) = 16(1 + 0i) = 16

الخلاصة والمبادئ المهمة

قوة الأعداد المركبة

الأعداد المركبة ليست مجرد رياضيات مجردة، بل أداة قوية لحل مسائل فيزيائية وهندسية معقدة.

التطبيقات العملية:
  • الهندسة الكهربائية: تحليل دوائر التيار المتردد
  • معالجة الإشارات: تحويل فورييه ومعالجة الصوت
  • ميكانيكا الكم: دالة الموجة والاحتماليات
  • الديناميكا الهوائية: تحليل التدفق حول الأجسام

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
الدرس السابق
52
الدرس التالي
ثالث ثانويالفصل الثالث
جاري تحميل التعليقات...