مفهوم الانحراف المعياري

تعريف الانحراف المعياري

الانحراف المعياري (Standard Deviation) = مقياس للتشتت
يوضح مدى تقارب أو تباعد البيانات عن المتوسط الحسابي

لماذا نحتاج الانحراف المعياري؟

المتوسط الحسابي وحده غير كافي لوصف البيانات
قياس التشتت: هل البيانات متقاربة أو متباعدة؟
مقارنة المجموعات: حتى لو كان لها نفس المتوسط
فهم توزيع البيانات بشكل أعمق

مثال توضيحي: نفس المتوسط، انحراف مختلف

مقارنة بين مجموعتين

المجموعة الأولى:

{0, 1, 1, 1, 1, 2}

الوصف: بيانات متقاربة جداً

التشتت: قليل

المجموعة الثانية:

{-20, -20, -14, 20, 20, 20}

الوصف: بيانات متباعدة جداً

التشتت: كبير

1 حساب المتوسط للمجموعة الأولى:

\bar{x}_1 = \frac{0 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1

2 حساب المتوسط للمجموعة الثانية:

\bar{x}_2 = \frac{(-20) + (-20) + (-14) + 20 + 20 + 20}{6} = \frac{6}{6} = 1

كلا المجموعتين لهما نفس المتوسط = 1
لكن التشتت مختلف تماماً!

قانون الانحراف المعياري

\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}}

شرح مكونات القانون:

الرمز	المعنى	التفسير
$\sigma$	الانحراف المعياري	النتيجة النهائية
$x_i$	كل عينة من البيانات	القيم الفردية
$\bar{x}$	المتوسط الحسابي	مجموع القيم ÷ عددها
$n$	عدد العينات	العدد الكلي للبيانات

خطوات الحساب:

احسب المتوسط

\bar{x}

←

احسب الفرق

(x_i - \bar{x})

←

ربّع الفرق

(x_i - \bar{x})^2

←

اجمع كل الفروق

\sum(x_i - \bar{x})^2

←

اقسم على العدد

\frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n}

←

خذ الجذر التربيعي

\sqrt{\frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n}}

            التفسير البسيط: القانون يجمع المسافات بين كل عينة والمتوسط الحسابي، ثم يحسب متوسط هذه المسافات.
        

أمثلة محلولة

مثال محلول 1: المجموعة الأولى

البيانات: {0, 1, 1, 1, 1, 2}

المطلوب: حساب الانحراف المعياري

1 حساب المتوسط الحسابي:

\bar{x} = \frac{0 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1

2 حساب الفروق والمربعات:

$x_i$	$x_i - \bar{x}$	$(x_i - \bar{x})^2$
0	0 - 1 = -1	(-1)² = 1
1	1 - 1 = 0	(0)² = 0
1	1 - 1 = 0	(0)² = 0
1	1 - 1 = 0	(0)² = 0
1	1 - 1 = 0	(0)² = 0
2	2 - 1 = 1	(1)² = 1
المجموع	-	2

3 تطبيق القانون:

\sigma = \sqrt{\frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n}} = \sqrt{\frac{2}{6}} = \sqrt{0.333} \approx 0.58

الانحراف المعياري للمجموعة الأولى = 0.58

مثال محلول 2: المجموعة الثانية

البيانات: {-20, -20, -14, 20, 20, 20}

المطلوب: حساب الانحراف المعياري

1 حساب المتوسط الحسابي:

\bar{x} = \frac{(-20) + (-20) + (-14) + 20 + 20 + 20}{6} = \frac{6}{6} = 1

2 حساب الفروق والمربعات:

$x_i$	$x_i - \bar{x}$	$(x_i - \bar{x})^2$
-20	-20 - 1 = -21	(-21)² = 441
-20	-20 - 1 = -21	(-21)² = 441
-14	-14 - 1 = -15	(-15)² = 225
20	20 - 1 = 19	(19)² = 361
20	20 - 1 = 19	(19)² = 361
20	20 - 1 = 19	(19)² = 361
المجموع	-	2190

3 تطبيق القانون:

\sigma = \sqrt{\frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n}} = \sqrt{\frac{2190}{6}} = \sqrt{365} \approx 19.1

الانحراف المعياري للمجموعة الثانية = 19.1

مثال محلول 3: درجات الطلاب

المسألة: درجات 8 طلاب في الاختبار: {85, 90, 78, 92, 88, 76, 94, 87}

المطلوب: حساب المتوسط والانحراف المعياري

1 حساب المتوسط الحسابي:

\bar{x} = \frac{85 + 90 + 78 + 92 + 88 + 76 + 94 + 87}{8} = \frac{690}{8} = 86.25

2 حساب الفروق والمربعات:

الدرجة	الفرق عن المتوسط	مربع الفرق
85	85 - 86.25 = -1.25	1.56
90	90 - 86.25 = 3.75	14.06
78	78 - 86.25 = -8.25	68.06
92	92 - 86.25 = 5.75	33.06
88	88 - 86.25 = 1.75	3.06
76	76 - 86.25 = -10.25	105.06
94	94 - 86.25 = 7.75	60.06
87	87 - 86.25 = 0.75	0.56
المجموع	-	285.5

3 تطبيق القانون:

\sigma = \sqrt{\frac{285.5}{8}} = \sqrt{35.69} \approx 5.97

المتوسط = 86.25، الانحراف المعياري = 5.97
التفسير: معظم الدرجات تقع ضمن حوالي 6 نقاط من المتوسط

مثال محلول 4: مقارنة فصلين دراسيين

المسألة: مقارنة أداء فصلين في الرياضيات

الفصل الأول:

{68, 70, 69, 71, 72, 70}

الفصل الثاني:

{50, 60, 70, 80, 90, 70}

1 حساب المتوسطات:
الفصل الأول:

\bar{x}_1 = \frac{68+70+69+71+72+70}{6} = \frac{420}{6} = 70

الفصل الثاني:

\bar{x}_2 = \frac{50+60+70+80+90+70}{6} = \frac{420}{6} = 70

2 حساب الانحراف المعياري للفصل الأول:
مجموع مربعات الفروق =

(68-70)^2 + (70-70)^2 + (69-70)^2 + (71-70)^2 + (72-70)^2 + (70-70)^2

=

4 + 0 + 1 + 1 + 4 + 0 = 10

\sigma_1 = \sqrt{\frac{10}{6}} = \sqrt{1.67} \approx 1.29

3 حساب الانحراف المعياري للفصل الثاني:
مجموع مربعات الفروق =

(50-70)^2 + (60-70)^2 + (70-70)^2 + (80-70)^2 + (90-70)^2 + (70-70)^2

=

400 + 100 + 0 + 100 + 400 + 0 = 1000

\sigma_2 = \sqrt{\frac{1000}{6}} = \sqrt{166.67} \approx 12.91

الفصل الأول: متوسط = 70، انحراف معياري = 1.29 (طلاب متجانسون)
الفصل الثاني: متوسط = 70، انحراف معياري = 12.91 (طلاب متفاوتون)

مثال محلول 5: أوقات الوصول للعمل

المسألة: موظف سجل أوقات وصوله للعمل (بالدقائق) خلال أسبوع: {25, 30, 28, 35, 32}

المطلوب: حساب متوسط وقت الوصول والانحراف المعياري

1 حساب المتوسط:

\bar{x} = \frac{25 + 30 + 28 + 35 + 32}{5} = \frac{150}{5} = 30 \text{ دقيقة}

2 حساب الانحراف المعياري:

الوقت	الفرق	مربع الفرق
25	25 - 30 = -5	25
30	30 - 30 = 0	0
28	28 - 30 = -2	4
35	35 - 30 = 5	25
32	32 - 30 = 2	4
المجموع	-	58

\sigma = \sqrt{\frac{58}{5}} = \sqrt{11.6} \approx 3.41 \text{ دقيقة}

متوسط وقت الوصول = 30 دقيقة
الانحراف المعياري = 3.41 دقيقة
التفسير: الموظف منتظم نسبياً في مواعيده

تفسير النتائج والتطبيقات

كيف نفسر قيمة الانحراف المعياري؟

قيمة الانحراف المعياري	التفسير	مثال
صغير (قريب من الصفر)	البيانات متجمعة حول المتوسط	درجات فصل متجانس
متوسط	توزيع طبيعي للبيانات	أطوال مجموعة من الناس
كبير	البيانات متشتتة ومتباعدة	دخول مختلفة جداً

التطبيقات العملية:

التعليم: تقييم تجانس مستوى الطلاب
الطب: تحليل نتائج الفحوصات الطبية
الاقتصاد: قياس التفاوت في الدخول
الجودة: مراقبة انتظام عمليات الإنتاج
الرياضة: تحليل أداء اللاعبين

الخلاصة

الانحراف المعياري = مقياس أساسي للتشتت
لا نكتفي بالمتوسط الحسابي وحده

النقاط المهمة:

المتوسط الحسابي وحده غير كافي لوصف البيانات
الانحراف المعياري يقيس التشتت حول المتوسط
مجموعات بنفس المتوسط قد تختلف في الانحراف المعياري
القانون يجمع المسافات بين البيانات والمتوسط
كلما قل الانحراف المعياري كانت البيانات أكثر تجانساً

مفهوم الانحراف المعياري

تعريف الانحراف المعياري

لماذا نحتاج الانحراف المعياري؟

مثال توضيحي: نفس المتوسط، انحراف مختلف

المجموعة الأولى:

المجموعة الثانية:

قانون الانحراف المعياري

شرح مكونات القانون:

خطوات الحساب:

أمثلة محلولة

الفصل الأول:

الفصل الثاني:

تفسير النتائج والتطبيقات

كيف نفسر قيمة الانحراف المعياري؟

التطبيقات العملية:

الخلاصة

النقاط المهمة:

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات